Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60135 / 41834
↖ ↑ ↗
← N 54.402946°
W 14.834289°		 ← 177.75 m → N 54.402946°
W 14.831543°		 →
↑
177.81 m
↓
↑
177.81 m
↓
N 54.401347°
W 14.834289°		 ← 177.75 m →
31 606 m²		 N 54.401347°
W 14.831543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458797454833984 y=0.319171905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458797454833984 × 217)
    floor (0.458797454833984 × 131072)
    floor (60135.5)     		tx = 60135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319171905517578 × 217)
    floor (0.319171905517578 × 131072)
    floor (41834.5)     		ty = 41834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60135 / 41834 ti = "17/60135/41834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60135/41834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60135 ÷ 217
    60135 ÷ 131072     		x = 0.458793640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41834 ÷ 217
    41834 ÷ 131072     		y = 0.319168090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458793640136719 × 2 - 1) × π
    -0.0824127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25890719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319168090820312 × 2 - 1) × π
    0.361663818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13620039479457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25890719} λ = -0.25890719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13620039479457))-π/2
    2×atan(3.11491042184733)-π/2
    2×1.26015342642784-π/2
    2.52030685285568-1.57079632675     		φ = 0.94951053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25890719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.834289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94951053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.402946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60135 KachelY 41834 -0.25890719 0.94951053 -14.834289 54.402946
    Oben rechts KachelX + 1 60136 KachelY 41834 -0.25885926 0.94951053 -14.831543 54.402946
    Unten links KachelX 60135 KachelY + 1 41835 -0.25890719 0.94948262 -14.834289 54.401347
    Unten rechts KachelX + 1 60136 KachelY + 1 41835 -0.25885926 0.94948262 -14.831543 54.401347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94951053-0.94948262) × R
    2.79099999999088e-05 × 6371000     		dl = 177.814609999419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94951053-0.94948262) × R
    2.79099999999088e-05 × 6371000     		dr = 177.814609999419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25890719--0.25885926) × cos(0.94951053) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.582081162255043 × 6371000     		do = 177.745485331068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25890719--0.25885926) × cos(0.94948262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.582103856505913 × 6371000     		du = 177.752415293583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94951053)-sin(0.94948262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582081162255043-0.582103856505913)×R²
    abs(-0.25885926--0.25890719)×2.26942508697592e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26942508697592e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26942508697592e-05×40589641000000     		ar = 31606.3602795101m²