Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60134 / 84247
↖ ↑ ↗
← S 45.627484°
W 14.837036°		 ← 213.59 m → S 45.627484°
W 14.834289°		 →
↑
213.56 m
↓
↑
213.56 m
↓
S 45.629405°
W 14.837036°		 ← 213.58 m →
45 613 m²		 S 45.629405°
W 14.834289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458789825439453 y=0.642757415771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458789825439453 × 217)
    floor (0.458789825439453 × 131072)
    floor (60134.5)     		tx = 60134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642757415771484 × 217)
    floor (0.642757415771484 × 131072)
    floor (84247.5)     		ty = 84247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60134 / 84247 ti = "17/60134/84247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60134/84247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60134 ÷ 217
    60134 ÷ 131072     		x = 0.458786010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84247 ÷ 217
    84247 ÷ 131072     		y = 0.642753601074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458786010742188 × 2 - 1) × π
    -0.082427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25895513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642753601074219 × 2 - 1) × π
    -0.285507202148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.896947328790871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25895513} λ = -0.25895513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.896947328790871))-π/2
    2×atan(0.407812679535477)-π/2
    2×0.387223248952895-π/2
    0.774446497905791-1.57079632675     		φ = -0.79634983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25895513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.837036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79634983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.627484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60134 KachelY 84247 -0.25895513 -0.79634983 -14.837036 -45.627484
    Oben rechts KachelX + 1 60135 KachelY 84247 -0.25890719 -0.79634983 -14.834289 -45.627484
    Unten links KachelX 60134 KachelY + 1 84248 -0.25895513 -0.79638335 -14.837036 -45.629405
    Unten rechts KachelX + 1 60135 KachelY + 1 84248 -0.25890719 -0.79638335 -14.834289 -45.629405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79634983--0.79638335) × R
    3.35200000000091e-05 × 6371000     		dl = 213.555920000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79634983--0.79638335) × R
    3.35200000000091e-05 × 6371000     		dr = 213.555920000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25895513--0.25890719) × cos(-0.79634983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699320533850117 × 6371000     		do = 213.590491548227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25895513--0.25890719) × cos(-0.79638335) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699296573085723 × 6371000     		du = 213.583173314031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79634983)-sin(-0.79638335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699320533850117-0.699296573085723)×R²
    abs(-0.25890719--0.25895513)×2.39607643944817e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39607643944817e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39607643944817e-05×40589641000000     		ar = 45612.7325039831m²