Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60134 / 83622
↖ ↑ ↗
← S 44.414164°
W 14.837036°		 ← 218.17 m → S 44.414164°
W 14.834289°		 →
↑
218.14 m
↓
↑
218.14 m
↓
S 44.416126°
W 14.837036°		 ← 218.16 m →
47 590 m²		 S 44.416126°
W 14.834289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458789825439453 y=0.637989044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458789825439453 × 217)
    floor (0.458789825439453 × 131072)
    floor (60134.5)     		tx = 60134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637989044189453 × 217)
    floor (0.637989044189453 × 131072)
    floor (83622.5)     		ty = 83622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60134 / 83622 ti = "17/60134/83622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60134/83622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60134 ÷ 217
    60134 ÷ 131072     		x = 0.458786010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83622 ÷ 217
    83622 ÷ 131072     		y = 0.637985229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458786010742188 × 2 - 1) × π
    -0.082427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25895513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637985229492188 × 2 - 1) × π
    -0.275970458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.866986766528336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25895513} λ = -0.25895513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866986766528336))-π/2
    2×atan(0.420215851941825)-π/2
    2×0.397811462540763-π/2
    0.795622925081527-1.57079632675     		φ = -0.77517340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25895513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.837036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77517340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.414164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60134 KachelY 83622 -0.25895513 -0.77517340 -14.837036 -44.414164
    Oben rechts KachelX + 1 60135 KachelY 83622 -0.25890719 -0.77517340 -14.834289 -44.414164
    Unten links KachelX 60134 KachelY + 1 83623 -0.25895513 -0.77520764 -14.837036 -44.416126
    Unten rechts KachelX + 1 60135 KachelY + 1 83623 -0.25890719 -0.77520764 -14.834289 -44.416126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77517340--0.77520764) × R
    3.42399999999632e-05 × 6371000     		dl = 218.143039999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77517340--0.77520764) × R
    3.42399999999632e-05 × 6371000     		dr = 218.143039999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25895513--0.25890719) × cos(-0.77517340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714299692548626 × 6371000     		do = 218.165512178293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25895513--0.25890719) × cos(-0.77520764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714275729610184 × 6371000     		du = 218.158193280087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77517340)-sin(-0.77520764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714299692548626-0.714275729610184)×R²
    abs(-0.25890719--0.25895513)×2.39629384414242e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39629384414242e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39629384414242e-05×40589641000000     		ar = 47590.489771107m²