Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60133 / 85660
↖ ↑ ↗
← S 48.275881°
W 14.839783°		 ← 203.27 m → S 48.275881°
W 14.837036°		 →
↑
203.30 m
↓
↑
203.30 m
↓
S 48.277710°
W 14.839783°		 ← 203.27 m →
41 325 m²		 S 48.277710°
W 14.837036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458782196044922 y=0.653537750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458782196044922 × 217)
    floor (0.458782196044922 × 131072)
    floor (60133.5)     		tx = 60133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653537750244141 × 217)
    floor (0.653537750244141 × 131072)
    floor (85660.5)     		ty = 85660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60133 / 85660 ti = "17/60133/85660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60133/85660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60133 ÷ 217
    60133 ÷ 131072     		x = 0.458778381347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85660 ÷ 217
    85660 ÷ 131072     		y = 0.653533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458778381347656 × 2 - 1) × π
    -0.0824432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25900307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653533935546875 × 2 - 1) × π
    -0.30706787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.96468216795401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25900307} λ = -0.25900307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96468216795401))-π/2
    2×atan(0.381104307654167)-π/2
    2×0.364111622428399-π/2
    0.728223244856798-1.57079632675     		φ = -0.84257308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25900307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.839783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84257308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.275881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60133 KachelY 85660 -0.25900307 -0.84257308 -14.839783 -48.275881
    Oben rechts KachelX + 1 60134 KachelY 85660 -0.25895513 -0.84257308 -14.837036 -48.275881
    Unten links KachelX 60133 KachelY + 1 85661 -0.25900307 -0.84260499 -14.839783 -48.277710
    Unten rechts KachelX + 1 60134 KachelY + 1 85661 -0.25895513 -0.84260499 -14.837036 -48.277710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84257308--0.84260499) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dl = 203.298610000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84257308--0.84260499) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dr = 203.298610000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25900307--0.25895513) × cos(-0.84257308) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6655445920885 × 6371000     		do = 203.27444954173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25900307--0.25895513) × cos(-0.84260499) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665520775463063 × 6371000     		du = 203.267175331282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84257308)-sin(-0.84260499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6655445920885-0.665520775463063)×R²
    abs(-0.25895513--0.25900307)×2.38166254377115e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38166254377115e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38166254377115e-05×40589641000000     		ar = 41324.6736254654m²