Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60133 / 83621
↖ ↑ ↗
← S 44.412202°
W 14.839783°		 ← 218.17 m → S 44.412202°
W 14.837036°		 →
↑
218.14 m
↓
↑
218.14 m
↓
S 44.414164°
W 14.839783°		 ← 218.17 m →
47 592 m²		 S 44.414164°
W 14.837036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458782196044922 y=0.637981414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458782196044922 × 217)
    floor (0.458782196044922 × 131072)
    floor (60133.5)     		tx = 60133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637981414794922 × 217)
    floor (0.637981414794922 × 131072)
    floor (83621.5)     		ty = 83621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60133 / 83621 ti = "17/60133/83621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60133/83621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60133 ÷ 217
    60133 ÷ 131072     		x = 0.458778381347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83621 ÷ 217
    83621 ÷ 131072     		y = 0.637977600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458778381347656 × 2 - 1) × π
    -0.0824432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25900307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637977600097656 × 2 - 1) × π
    -0.275955200195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.866938829628715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25900307} λ = -0.25900307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866938829628715))-π/2
    2×atan(0.420235996269763)-π/2
    2×0.397828583484248-π/2
    0.795657166968496-1.57079632675     		φ = -0.77513916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25900307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.839783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77513916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.412202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60133 KachelY 83621 -0.25900307 -0.77513916 -14.839783 -44.412202
    Oben rechts KachelX + 1 60134 KachelY 83621 -0.25895513 -0.77513916 -14.837036 -44.412202
    Unten links KachelX 60133 KachelY + 1 83622 -0.25900307 -0.77517340 -14.839783 -44.414164
    Unten rechts KachelX + 1 60134 KachelY + 1 83622 -0.25895513 -0.77517340 -14.837036 -44.414164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77513916--0.77517340) × R
    3.42399999999632e-05 × 6371000     		dl = 218.143039999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77513916--0.77517340) × R
    3.42399999999632e-05 × 6371000     		dr = 218.143039999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25900307--0.25895513) × cos(-0.77513916) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.714323654649638 × 6371000     		do = 218.17283082098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25900307--0.25895513) × cos(-0.77517340) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.714299692548626 × 6371000     		du = 218.165512178546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77513916)-sin(-0.77517340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714323654649638-0.714299692548626)×R²
    abs(-0.25895513--0.25900307)×2.39621010124091e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39621010124091e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39621010124091e-05×40589641000000     		ar = 47592.0863097744m²