Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60133 / 30676
↖ ↑ ↗
← N 68.700496°
W 14.839783°		 ← 110.94 m → N 68.700496°
W 14.837036°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
N 68.699498°
W 14.839783°		 ← 110.95 m →
12 306 m²		 N 68.699498°
W 14.837036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458782196044922 y=0.234043121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458782196044922 × 217)
    floor (0.458782196044922 × 131072)
    floor (60133.5)     		tx = 60133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234043121337891 × 217)
    floor (0.234043121337891 × 131072)
    floor (30676.5)     		ty = 30676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60133 / 30676 ti = "17/60133/30676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60133/30676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60133 ÷ 217
    60133 ÷ 131072     		x = 0.458778381347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30676 ÷ 217
    30676 ÷ 131072     		y = 0.234039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458778381347656 × 2 - 1) × π
    -0.0824432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25900307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234039306640625 × 2 - 1) × π
    0.53192138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.67108032075516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25900307} λ = -0.25900307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67108032075516))-π/2
    2×atan(5.31790974332069)-π/2
    2×1.38492308930995-π/2
    2.7698461786199-1.57079632675     		φ = 1.19904985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25900307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.839783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19904985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.700496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60133 KachelY 30676 -0.25900307 1.19904985 -14.839783 68.700496
    Oben rechts KachelX + 1 60134 KachelY 30676 -0.25895513 1.19904985 -14.837036 68.700496
    Unten links KachelX 60133 KachelY + 1 30677 -0.25900307 1.19903244 -14.839783 68.699498
    Unten rechts KachelX + 1 60134 KachelY + 1 30677 -0.25895513 1.19903244 -14.837036 68.699498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19904985-1.19903244) × R
    1.74099999998845e-05 × 6371000     		dl = 110.919109999264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19904985-1.19903244) × R
    1.74099999998845e-05 × 6371000     		dr = 110.919109999264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25900307--0.25895513) × cos(1.19904985) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363243167715393 × 6371000     		do = 110.943813299474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25900307--0.25895513) × cos(1.19903244) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363259388459342 × 6371000     		du = 110.948767532198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19904985)-sin(1.19903244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363243167715393-0.363259388459342)×R²
    abs(-0.25895513--0.25900307)×1.62207439486362e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.62207439486362e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.62207439486362e-05×40589641000000     		ar = 12306.0637910393m²