Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60132 / 85604
↖ ↑ ↗
← S 48.173412°
W 14.842530°		 ← 203.68 m → S 48.173412°
W 14.839783°		 →
↑
203.68 m
↓
↑
203.68 m
↓
S 48.175244°
W 14.842530°		 ← 203.67 m →
41 485 m²		 S 48.175244°
W 14.839783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458774566650391 y=0.653110504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458774566650391 × 217)
    floor (0.458774566650391 × 131072)
    floor (60132.5)     		tx = 60132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653110504150391 × 217)
    floor (0.653110504150391 × 131072)
    floor (85604.5)     		ty = 85604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60132 / 85604 ti = "17/60132/85604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60132/85604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60132 ÷ 217
    60132 ÷ 131072     		x = 0.458770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85604 ÷ 217
    85604 ÷ 131072     		y = 0.653106689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.08245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25905101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.30621337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.961997701575287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25905101} λ = -0.25905101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961997701575287))-π/2
    2×atan(0.382128743771804)-π/2
    2×0.365005833500525-π/2
    0.730011667001049-1.57079632675     		φ = -0.84078466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25905101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.842530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84078466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.173412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60132 KachelY 85604 -0.25905101 -0.84078466 -14.842530 -48.173412
    Oben rechts KachelX + 1 60133 KachelY 85604 -0.25900307 -0.84078466 -14.839783 -48.173412
    Unten links KachelX 60132 KachelY + 1 85605 -0.25905101 -0.84081663 -14.842530 -48.175244
    Unten rechts KachelX + 1 60133 KachelY + 1 85605 -0.25900307 -0.84081663 -14.839783 -48.175244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84078466--0.84081663) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dl = 203.680869999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84078466--0.84081663) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dr = 203.680869999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25905101--0.25900307) × cos(-0.84078466) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.666878328755227 × 6371000     		do = 203.681807050131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25905101--0.25900307) × cos(-0.84081663) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.666854505437522 × 6371000     		du = 203.674530795691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84078466)-sin(-0.84081663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666878328755227-0.666854505437522)×R²
    abs(-0.25900307--0.25905101)×2.38233177051184e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38233177051184e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38233177051184e-05×40589641000000     		ar = 41485.3466497296m²