Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60131 / 83617
↖ ↑ ↗
← S 44.404354°
W 14.845276°		 ← 218.16 m → S 44.404354°
W 14.842530°		 →
↑
218.21 m
↓
↑
218.21 m
↓
S 44.406316°
W 14.845276°		 ← 218.15 m →
47 602 m²		 S 44.406316°
W 14.842530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458766937255859 y=0.637950897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458766937255859 × 217)
    floor (0.458766937255859 × 131072)
    floor (60131.5)     		tx = 60131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637950897216797 × 217)
    floor (0.637950897216797 × 131072)
    floor (83617.5)     		ty = 83617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60131 / 83617 ti = "17/60131/83617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60131/83617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60131 ÷ 217
    60131 ÷ 131072     		x = 0.458763122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83617 ÷ 217
    83617 ÷ 131072     		y = 0.637947082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458763122558594 × 2 - 1) × π
    -0.0824737548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25909894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637947082519531 × 2 - 1) × π
    -0.275894165039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.866747082030235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25909894} λ = -0.25909894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866747082030235))-π/2
    2×atan(0.420316583238774)-π/2
    2×0.397897073001835-π/2
    0.795794146003669-1.57079632675     		φ = -0.77500218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25909894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.845276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77500218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.404354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60131 KachelY 83617 -0.25909894 -0.77500218 -14.845276 -44.404354
    Oben rechts KachelX + 1 60132 KachelY 83617 -0.25905101 -0.77500218 -14.842530 -44.404354
    Unten links KachelX 60131 KachelY + 1 83618 -0.25909894 -0.77503643 -14.845276 -44.406316
    Unten rechts KachelX + 1 60132 KachelY + 1 83618 -0.25905101 -0.77503643 -14.842530 -44.406316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77500218--0.77503643) × R
    3.42500000000134e-05 × 6371000     		dl = 218.206750000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77500218--0.77503643) × R
    3.42500000000134e-05 × 6371000     		dr = 218.206750000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25909894--0.25905101) × cos(-0.77500218) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.714419508673189 × 6371000     		do = 218.156591439929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25909894--0.25905101) × cos(-0.77503643) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.714395542925242 × 6371000     		du = 218.149273210485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77500218)-sin(-0.77503643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714419508673189-0.714395542925242)×R²
    abs(-0.25905101--0.25909894)×2.39657479474964e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39657479474964e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39657479474964e-05×40589641000000     		ar = 47602.4423703766m²