Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60131 / 83429
↖ ↑ ↗
← S 44.034295°
W 14.845276°		 ← 219.53 m → S 44.034295°
W 14.842530°		 →
↑
219.54 m
↓
↑
219.54 m
↓
S 44.036270°
W 14.845276°		 ← 219.52 m →
48 196 m²		 S 44.036270°
W 14.842530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458766937255859 y=0.636516571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458766937255859 × 217)
    floor (0.458766937255859 × 131072)
    floor (60131.5)     		tx = 60131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636516571044922 × 217)
    floor (0.636516571044922 × 131072)
    floor (83429.5)     		ty = 83429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60131 / 83429 ti = "17/60131/83429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60131/83429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60131 ÷ 217
    60131 ÷ 131072     		x = 0.458763122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83429 ÷ 217
    83429 ÷ 131072     		y = 0.636512756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458763122558594 × 2 - 1) × π
    -0.0824737548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25909894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636512756347656 × 2 - 1) × π
    -0.273025512695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.857734944901665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25909894} λ = -0.25909894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857734944901665))-π/2
    2×atan(0.424121654080927)-π/2
    2×0.401126445373475-π/2
    0.80225289074695-1.57079632675     		φ = -0.76854344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25909894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.845276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76854344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.034295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60131 KachelY 83429 -0.25909894 -0.76854344 -14.845276 -44.034295
    Oben rechts KachelX + 1 60132 KachelY 83429 -0.25905101 -0.76854344 -14.842530 -44.034295
    Unten links KachelX 60131 KachelY + 1 83430 -0.25909894 -0.76857790 -14.845276 -44.036270
    Unten rechts KachelX + 1 60132 KachelY + 1 83430 -0.25905101 -0.76857790 -14.842530 -44.036270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76854344--0.76857790) × R
    3.44600000000694e-05 × 6371000     		dl = 219.544660000442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76854344--0.76857790) × R
    3.44600000000694e-05 × 6371000     		dr = 219.544660000442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25909894--0.25905101) × cos(-0.76854344) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.718923870447917 × 6371000     		do = 219.532052495313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25909894--0.25905101) × cos(-0.76857790) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.718899917260306 × 6371000     		du = 219.524738101319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76854344)-sin(-0.76857790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718923870447917-0.718899917260306)×R²
    abs(-0.25905101--0.25909894)×2.39531876106147e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39531876106147e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39531876106147e-05×40589641000000     		ar = 48196.2869108886m²