Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60129 / 83430
↖ ↑ ↗
← S 44.036270°
W 14.850769°		 ← 219.57 m → S 44.036270°
W 14.848022°		 →
↑
219.54 m
↓
↑
219.54 m
↓
S 44.038244°
W 14.850769°		 ← 219.56 m →
48 205 m²		 S 44.038244°
W 14.848022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458751678466797 y=0.636524200439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458751678466797 × 217)
    floor (0.458751678466797 × 131072)
    floor (60129.5)     		tx = 60129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636524200439453 × 217)
    floor (0.636524200439453 × 131072)
    floor (83430.5)     		ty = 83430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60129 / 83430 ti = "17/60129/83430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60129/83430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60129 ÷ 217
    60129 ÷ 131072     		x = 0.458747863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83430 ÷ 217
    83430 ÷ 131072     		y = 0.636520385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458747863769531 × 2 - 1) × π
    -0.0825042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25919482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636520385742188 × 2 - 1) × π
    -0.273040771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.857782881801285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25919482} λ = -0.25919482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857782881801285))-π/2
    2×atan(0.424101323491065)-π/2
    2×0.401109214169783-π/2
    0.802218428339567-1.57079632675     		φ = -0.76857790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25919482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.850769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76857790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.036270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60129 KachelY 83430 -0.25919482 -0.76857790 -14.850769 -44.036270
    Oben rechts KachelX + 1 60130 KachelY 83430 -0.25914688 -0.76857790 -14.848022 -44.036270
    Unten links KachelX 60129 KachelY + 1 83431 -0.25919482 -0.76861236 -14.850769 -44.038244
    Unten rechts KachelX + 1 60130 KachelY + 1 83431 -0.25914688 -0.76861236 -14.848022 -44.038244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76857790--0.76861236) × R
    3.44599999999584e-05 × 6371000     		dl = 219.544659999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76857790--0.76861236) × R
    3.44599999999584e-05 × 6371000     		dr = 219.544659999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25919482--0.25914688) × cos(-0.76857790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.718899917260306 × 6371000     		do = 219.570539215024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25919482--0.25914688) × cos(-0.76861236) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.718875963219008 × 6371000     		du = 219.563223034234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76857790)-sin(-0.76861236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718899917260306-0.718875963219008)×R²
    abs(-0.25914688--0.25919482)×2.39540412981798e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39540412981798e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39540412981798e-05×40589641000000     		ar = 48204.7362684453m²