Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60129 / 58721
↖ ↑ ↗
← S 80.504018°
E150.298462°		 ← 100.77 m → S 80.504018°
E150.303955°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
S 80.504925°
E150.298462°		 ← 100.76 m →
10 156 m²		 S 80.504925°
E150.303955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917503356933594 y=0.896018981933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917503356933594 × 216)
    floor (0.917503356933594 × 65536)
    floor (60129.5)     		tx = 60129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896018981933594 × 216)
    floor (0.896018981933594 × 65536)
    floor (58721.5)     		ty = 58721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60129 / 58721 ti = "16/60129/58721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60129/58721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60129 ÷ 216
    60129 ÷ 65536     		x = 0.917495727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58721 ÷ 216
    58721 ÷ 65536     		y = 0.896011352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917495727539062 × 2 - 1) × π
    0.834991455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.62320302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896011352539062 × 2 - 1) × π
    -0.792022705078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.48821271167863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62320302} λ = 2.62320302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48821271167863))-π/2
    2×atan(0.0830582830928654)-π/2
    2×0.0828680723351069-π/2
    0.165736144670214-1.57079632675     		φ = -1.40506018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62320302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.298462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40506018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.504018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60129 KachelY 58721 2.62320302 -1.40506018 150.298462 -80.504018
    Oben rechts KachelX + 1 60130 KachelY 58721 2.62329889 -1.40506018 150.303955 -80.504018
    Unten links KachelX 60129 KachelY + 1 58722 2.62320302 -1.40507600 150.298462 -80.504925
    Unten rechts KachelX + 1 60130 KachelY + 1 58722 2.62329889 -1.40507600 150.303955 -80.504925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40506018--1.40507600) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40506018--1.40507600) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62320302-2.62329889) × cos(-1.40506018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16497843513045 × 6371000     		do = 100.766810491415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62320302-2.62329889) × cos(-1.40507600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16496283188851 × 6371000     		du = 100.757280222065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40506018)-sin(-1.40507600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16497843513045-0.16496283188851)×R²
    abs(2.62329889-2.62320302)×1.56032419408314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56032419408314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56032419408314e-05×40589641000000     		ar = 10155.7279574925m²