Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60129 / 55875
↖ ↑ ↗
← N 25.634098°
W 14.850769°		 ← 275.36 m → N 25.634098°
W 14.848022°		 →
↑
275.35 m
↓
↑
275.35 m
↓
N 25.631622°
W 14.850769°		 ← 275.37 m →
75 824 m²		 N 25.631622°
W 14.848022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458751678466797 y=0.426296234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458751678466797 × 217)
    floor (0.458751678466797 × 131072)
    floor (60129.5)     		tx = 60129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426296234130859 × 217)
    floor (0.426296234130859 × 131072)
    floor (55875.5)     		ty = 55875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60129 / 55875 ti = "17/60129/55875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60129/55875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60129 ÷ 217
    60129 ÷ 131072     		x = 0.458747863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55875 ÷ 217
    55875 ÷ 131072     		y = 0.426292419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458747863769531 × 2 - 1) × π
    -0.0825042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25919482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426292419433594 × 2 - 1) × π
    0.147415161132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.463118387229362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25919482} λ = -0.25919482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463118387229362))-π/2
    2×atan(1.58902145112802)-π/2
    2×1.00909786755025-π/2
    2.01819573510049-1.57079632675     		φ = 0.44739941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25919482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.850769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44739941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.634098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60129 KachelY 55875 -0.25919482 0.44739941 -14.850769 25.634098
    Oben rechts KachelX + 1 60130 KachelY 55875 -0.25914688 0.44739941 -14.848022 25.634098
    Unten links KachelX 60129 KachelY + 1 55876 -0.25919482 0.44735619 -14.850769 25.631622
    Unten rechts KachelX + 1 60130 KachelY + 1 55876 -0.25914688 0.44735619 -14.848022 25.631622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44739941-0.44735619) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dl = 275.354620000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44739941-0.44735619) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dr = 275.354620000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25919482--0.25914688) × cos(0.44739941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901575223205073 × 6371000     		do = 275.364279712894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25919482--0.25914688) × cos(0.44735619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901593920301935 × 6371000     		du = 275.369990287539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44739941)-sin(0.44735619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901575223205073-0.901593920301935)×R²
    abs(-0.25914688--0.25919482)×1.86970968624189e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86970968624189e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86970968624189e-05×40589641000000     		ar = 75823.6128303702m²