Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60129 / 41633
↖ ↑ ↗
← N 54.723034°
W 14.850769°		 ← 176.39 m → N 54.723034°
W 14.848022°		 →
↑
176.41 m
↓
↑
176.41 m
↓
N 54.721447°
W 14.850769°		 ← 176.40 m →
31 119 m²		 N 54.721447°
W 14.848022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458751678466797 y=0.317638397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458751678466797 × 217)
    floor (0.458751678466797 × 131072)
    floor (60129.5)     		tx = 60129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317638397216797 × 217)
    floor (0.317638397216797 × 131072)
    floor (41633.5)     		ty = 41633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60129 / 41633 ti = "17/60129/41633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60129/41633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60129 ÷ 217
    60129 ÷ 131072     		x = 0.458747863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41633 ÷ 217
    41633 ÷ 131072     		y = 0.317634582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458747863769531 × 2 - 1) × π
    -0.0825042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25919482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317634582519531 × 2 - 1) × π
    0.364730834960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.1458357116182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25919482} λ = -0.25919482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1458357116182))-π/2
    2×atan(3.14506862925873)-π/2
    2×1.26294672332502-π/2
    2.52589344665004-1.57079632675     		φ = 0.95509712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25919482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.850769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95509712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.723034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60129 KachelY 41633 -0.25919482 0.95509712 -14.850769 54.723034
    Oben rechts KachelX + 1 60130 KachelY 41633 -0.25914688 0.95509712 -14.848022 54.723034
    Unten links KachelX 60129 KachelY + 1 41634 -0.25919482 0.95506943 -14.850769 54.721447
    Unten rechts KachelX + 1 60130 KachelY + 1 41634 -0.25914688 0.95506943 -14.848022 54.721447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95509712-0.95506943) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dl = 176.412990000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95509712-0.95506943) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dr = 176.412990000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25919482--0.25914688) × cos(0.95509712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577529474748166 × 6371000     		do = 176.392367196654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25919482--0.25914688) × cos(0.95506943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577552079807459 × 6371000     		du = 176.399271363617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95509712)-sin(0.95506943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577529474748166-0.577552079807459)×R²
    abs(-0.25914688--0.25919482)×2.26050592930793e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26050592930793e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26050592930793e-05×40589641000000     		ar = 31118.5139046897m²