Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60129 / 30176
↖ ↑ ↗
← N 69.193800°
W 14.850769°		 ← 108.49 m → N 69.193800°
W 14.848022°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
N 69.192824°
W 14.850769°		 ← 108.49 m →
11 771 m²		 N 69.192824°
W 14.848022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458751678466797 y=0.230228424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458751678466797 × 217)
    floor (0.458751678466797 × 131072)
    floor (60129.5)     		tx = 60129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230228424072266 × 217)
    floor (0.230228424072266 × 131072)
    floor (30176.5)     		ty = 30176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60129 / 30176 ti = "17/60129/30176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60129/30176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60129 ÷ 217
    60129 ÷ 131072     		x = 0.458747863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30176 ÷ 217
    30176 ÷ 131072     		y = 0.230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458747863769531 × 2 - 1) × π
    -0.0825042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25919482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230224609375 × 2 - 1) × π
    0.53955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69504877056519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25919482} λ = -0.25919482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69504877056519))-π/2
    2×atan(5.4469116076926)-π/2
    2×1.38922797731798-π/2
    2.77845595463597-1.57079632675     		φ = 1.20765963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25919482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.850769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20765963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.193800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60129 KachelY 30176 -0.25919482 1.20765963 -14.850769 69.193800
    Oben rechts KachelX + 1 60130 KachelY 30176 -0.25914688 1.20765963 -14.848022 69.193800
    Unten links KachelX 60129 KachelY + 1 30177 -0.25919482 1.20764260 -14.850769 69.192824
    Unten rechts KachelX + 1 60130 KachelY + 1 30177 -0.25914688 1.20764260 -14.848022 69.192824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20765963-1.20764260) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20765963-1.20764260) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25919482--0.25914688) × cos(1.20765963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355208120040202 × 6371000     		do = 108.489702917216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25919482--0.25914688) × cos(1.20764260) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355224039415457 × 6371000     		du = 108.494565104184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20765963)-sin(1.20764260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355208120040202-0.355224039415457)×R²
    abs(-0.25914688--0.25919482)×1.59193752548581e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59193752548581e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59193752548581e-05×40589641000000     		ar = 11771.1936602163m²