Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60128 / 83616
↖ ↑ ↗
← S 44.402392°
W 14.853515°		 ← 218.16 m → S 44.402392°
W 14.850769°		 →
↑
218.21 m
↓
↑
218.21 m
↓
S 44.404354°
W 14.853515°		 ← 218.16 m →
47 604 m²		 S 44.404354°
W 14.850769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458744049072266 y=0.637943267822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458744049072266 × 217)
    floor (0.458744049072266 × 131072)
    floor (60128.5)     		tx = 60128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637943267822266 × 217)
    floor (0.637943267822266 × 131072)
    floor (83616.5)     		ty = 83616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60128 / 83616 ti = "17/60128/83616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60128/83616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60128 ÷ 217
    60128 ÷ 131072     		x = 0.458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83616 ÷ 217
    83616 ÷ 131072     		y = 0.637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.08251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25924275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637939453125 × 2 - 1) × π
    -0.27587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.866699145130615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25924275} λ = -0.25924275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866699145130615))-π/2
    2×atan(0.420336732395574)-π/2
    2×0.397914196817139-π/2
    0.795828393634279-1.57079632675     		φ = -0.77496793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25924275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77496793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.402392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60128 KachelY 83616 -0.25924275 -0.77496793 -14.853515 -44.402392
    Oben rechts KachelX + 1 60129 KachelY 83616 -0.25919482 -0.77496793 -14.850769 -44.402392
    Unten links KachelX 60128 KachelY + 1 83617 -0.25924275 -0.77500218 -14.853515 -44.404354
    Unten rechts KachelX + 1 60129 KachelY + 1 83617 -0.25919482 -0.77500218 -14.850769 -44.404354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77496793--0.77500218) × R
    3.42500000000134e-05 × 6371000     		dl = 218.206750000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77496793--0.77500218) × R
    3.42500000000134e-05 × 6371000     		dr = 218.206750000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25924275--0.25919482) × cos(-0.77496793) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.714443473583078 × 6371000     		do = 218.163909413714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25924275--0.25919482) × cos(-0.77500218) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.714419508673189 × 6371000     		du = 218.156591440181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77496793)-sin(-0.77500218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714443473583078-0.714419508673189)×R²
    abs(-0.25919482--0.25924275)×2.39649098887629e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39649098887629e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39649098887629e-05×40589641000000     		ar = 47604.0392293841m²