Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60128 / 58720
↖ ↑ ↗
← S 80.503112°
E150.292969°		 ← 100.78 m → S 80.503112°
E150.298462°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
S 80.504018°
E150.292969°		 ← 100.77 m →
10 157 m²		 S 80.504018°
E150.298462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917488098144531 y=0.896003723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917488098144531 × 216)
    floor (0.917488098144531 × 65536)
    floor (60128.5)     		tx = 60128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896003723144531 × 216)
    floor (0.896003723144531 × 65536)
    floor (58720.5)     		ty = 58720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60128 / 58720 ti = "16/60128/58720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60128/58720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60128 ÷ 216
    60128 ÷ 65536     		x = 0.91748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58720 ÷ 216
    58720 ÷ 65536     		y = 0.89599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91748046875 × 2 - 1) × π
    0.8349609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62310715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89599609375 × 2 - 1) × π
    -0.7919921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48811683787939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62310715} λ = 2.62310715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48811683787939))-π/2
    2×atan(0.083066246587763)-π/2
    2×0.0828759812636189-π/2
    0.165751962527238-1.57079632675     		φ = -1.40504436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62310715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.292969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40504436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.503112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60128 KachelY 58720 2.62310715 -1.40504436 150.292969 -80.503112
    Oben rechts KachelX + 1 60129 KachelY 58720 2.62320302 -1.40504436 150.298462 -80.503112
    Unten links KachelX 60128 KachelY + 1 58721 2.62310715 -1.40506018 150.292969 -80.504018
    Unten rechts KachelX + 1 60129 KachelY + 1 58721 2.62320302 -1.40506018 150.298462 -80.504018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40504436--1.40506018) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40504436--1.40506018) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62310715-2.62320302) × cos(-1.40504436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164994038331102 × 6371000     		do = 100.776340735546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62310715-2.62320302) × cos(-1.40506018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16497843513045 × 6371000     		du = 100.766810491415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40504436)-sin(-1.40506018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164994038331102-0.16497843513045)×R²
    abs(2.62320302-2.62310715)×1.56032006512763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56032006512763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56032006512763e-05×40589641000000     		ar = 10156.6885043189m²