Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60125 / 82465
↖ ↑ ↗
← S 42.100260°
W 14.861755°		 ← 226.57 m → S 42.100260°
W 14.859009°		 →
↑
226.62 m
↓
↑
226.62 m
↓
S 42.102298°
W 14.861755°		 ← 226.56 m →
51 344 m²		 S 42.102298°
W 14.859009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458721160888672 y=0.629161834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458721160888672 × 217)
    floor (0.458721160888672 × 131072)
    floor (60125.5)     		tx = 60125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629161834716797 × 217)
    floor (0.629161834716797 × 131072)
    floor (82465.5)     		ty = 82465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60125 / 82465 ti = "17/60125/82465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60125/82465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60125 ÷ 217
    60125 ÷ 131072     		x = 0.458717346191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82465 ÷ 217
    82465 ÷ 131072     		y = 0.629158020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458717346191406 × 2 - 1) × π
    -0.0825653076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25938656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629158020019531 × 2 - 1) × π
    -0.258316040039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.811523773667931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25938656} λ = -0.25938656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.811523773667931))-π/2
    2×atan(0.444180719408344)-π/2
    2×0.418004084026525-π/2
    0.83600816805305-1.57079632675     		φ = -0.73478816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25938656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.861755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73478816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.100260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60125 KachelY 82465 -0.25938656 -0.73478816 -14.861755 -42.100260
    Oben rechts KachelX + 1 60126 KachelY 82465 -0.25933863 -0.73478816 -14.859009 -42.100260
    Unten links KachelX 60125 KachelY + 1 82466 -0.25938656 -0.73482373 -14.861755 -42.102298
    Unten rechts KachelX + 1 60126 KachelY + 1 82466 -0.25933863 -0.73482373 -14.859009 -42.102298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73478816--0.73482373) × R
    3.55699999999848e-05 × 6371000     		dl = 226.616469999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73478816--0.73482373) × R
    3.55699999999848e-05 × 6371000     		dr = 226.616469999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25938656--0.25933863) × cos(-0.73478816) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.741972793939049 × 6371000     		do = 226.570318561876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25938656--0.25933863) × cos(-0.73482373) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.741948946274887 × 6371000     		du = 226.563036390737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73478816)-sin(-0.73482373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741972793939049-0.741948946274887)×R²
    abs(-0.25933863--0.25938656)×2.38476641619689e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38476641619689e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38476641619689e-05×40589641000000     		ar = 51343.7406746046m²