Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60125 / 60006
↖ ↑ ↗
← S 81.600515°
E150.276489°		 ← 89.22 m → S 81.600515°
E150.281982°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
S 81.601317°
E150.276489°		 ← 89.21 m →
7 963 m²		 S 81.601317°
E150.281982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917442321777344 y=0.915626525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917442321777344 × 216)
    floor (0.917442321777344 × 65536)
    floor (60125.5)     		tx = 60125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915626525878906 × 216)
    floor (0.915626525878906 × 65536)
    floor (60006.5)     		ty = 60006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60125 / 60006 ti = "16/60125/60006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60125/60006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60125 ÷ 216
    60125 ÷ 65536     		x = 0.917434692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60006 ÷ 216
    60006 ÷ 65536     		y = 0.915618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917434692382812 × 2 - 1) × π
    0.834869384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.62281953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.83123779296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61141054370218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62281953} λ = 2.62281953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61141054370218))-π/2
    2×atan(0.0734308931944734)-π/2
    2×0.0732993364093373-π/2
    0.146598672818675-1.57079632675     		φ = -1.42419765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62281953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.276489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42419765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.600515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60125 KachelY 60006 2.62281953 -1.42419765 150.276489 -81.600515
    Oben rechts KachelX + 1 60126 KachelY 60006 2.62291540 -1.42419765 150.281982 -81.600515
    Unten links KachelX 60125 KachelY + 1 60007 2.62281953 -1.42421166 150.276489 -81.601317
    Unten rechts KachelX + 1 60126 KachelY + 1 60007 2.62291540 -1.42421166 150.281982 -81.601317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42419765--1.42421166) × R
    1.40100000001198e-05 × 6371000     		dl = 89.257710000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42419765--1.42421166) × R
    1.40100000001198e-05 × 6371000     		dr = 89.257710000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62281953-2.62291540) × cos(-1.42419765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146074144522342 × 6371000     		do = 89.2203009874567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62281953-2.62291540) × cos(-1.42421166) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146060284784242 × 6371000     		du = 89.2118356289304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42419765)-sin(-1.42421166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146074144522342-0.146060284784242)×R²
    abs(2.62291540-2.62281953)×1.38597380990868e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38597380990868e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38597380990868e-05×40589641000000     		ar = 7963.22195256107m²