Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60124 / 60003
↖ ↑ ↗
← S 81.598107°
E150.270996°		 ← 89.25 m → S 81.598107°
E150.276489°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
S 81.598910°
E150.270996°		 ← 89.25 m →
7 966 m²		 S 81.598910°
E150.276489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917427062988281 y=0.915580749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917427062988281 × 216)
    floor (0.917427062988281 × 65536)
    floor (60124.5)     		tx = 60124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915580749511719 × 216)
    floor (0.915580749511719 × 65536)
    floor (60003.5)     		ty = 60003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60124 / 60003 ti = "16/60124/60003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60124/60003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60124 ÷ 216
    60124 ÷ 65536     		x = 0.91741943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60003 ÷ 216
    60003 ÷ 65536     		y = 0.915573120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91741943359375 × 2 - 1) × π
    0.8348388671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.62272365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915573120117188 × 2 - 1) × π
    -0.831146240234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61112292230446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62272365} λ = 2.62272365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61112292230446))-π/2
    2×atan(0.0734520165282257)-π/2
    2×0.0733203464224882-π/2
    0.146640692844976-1.57079632675     		φ = -1.42415563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62272365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.270996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42415563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.598107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60124 KachelY 60003 2.62272365 -1.42415563 150.270996 -81.598107
    Oben rechts KachelX + 1 60125 KachelY 60003 2.62281953 -1.42415563 150.276489 -81.598107
    Unten links KachelX 60124 KachelY + 1 60004 2.62272365 -1.42416964 150.270996 -81.598910
    Unten rechts KachelX + 1 60125 KachelY + 1 60004 2.62281953 -1.42416964 150.276489 -81.598910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42415563--1.42416964) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dl = 89.2577099993484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42415563--1.42416964) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dr = 89.2577099993484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62272365-2.62281953) × cos(-1.42415563) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146115713671924 × 6371000     		do = 89.2549999476923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62272365-2.62281953) × cos(-1.42416964) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146101854019827 × 6371000     		du = 89.2465337586967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42415563)-sin(-1.42416964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146115713671924-0.146101854019827)×R²
    abs(2.62281953-2.62272365)×1.38596520968259e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.38596520968259e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.38596520968259e-05×40589641000000     		ar = 7966.31906513038m²