Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60122 / 60010
↖ ↑ ↗
← S 81.603724°
E150.260010°		 ← 89.20 m → S 81.603724°
E150.265503°		 →
↑
89.19 m
↓
↑
89.19 m
↓
S 81.604526°
E150.260010°		 ← 89.19 m →
7 955 m²		 S 81.604526°
E150.265503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917396545410156 y=0.915687561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917396545410156 × 216)
    floor (0.917396545410156 × 65536)
    floor (60122.5)     		tx = 60122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915687561035156 × 216)
    floor (0.915687561035156 × 65536)
    floor (60010.5)     		ty = 60010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60122 / 60010 ti = "16/60122/60010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60122/60010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60122 ÷ 216
    60122 ÷ 65536     		x = 0.917388916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60010 ÷ 216
    60010 ÷ 65536     		y = 0.915679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917388916015625 × 2 - 1) × π
    0.83477783203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.62253190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.83135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61179403889914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62253190} λ = 2.62253190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61179403889914))-π/2
    2×atan(0.0734027381986227)-π/2
    2×0.0732713323561423-π/2
    0.146542664712285-1.57079632675     		φ = -1.42425366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62253190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.260010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42425366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.603724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60122 KachelY 60010 2.62253190 -1.42425366 150.260010 -81.603724
    Oben rechts KachelX + 1 60123 KachelY 60010 2.62262778 -1.42425366 150.265503 -81.603724
    Unten links KachelX 60122 KachelY + 1 60011 2.62253190 -1.42426766 150.260010 -81.604526
    Unten rechts KachelX + 1 60123 KachelY + 1 60011 2.62262778 -1.42426766 150.265503 -81.604526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42425366--1.42426766) × R
    1.39999999999585e-05 × 6371000     		dl = 89.1939999997355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42425366--1.42426766) × R
    1.39999999999585e-05 × 6371000     		dr = 89.1939999997355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62253190-2.62262778) × cos(-1.42425366) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.146018735076399 × 6371000     		do = 89.1957604295009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62253190-2.62262778) × cos(-1.42426766) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.146004885116542 × 6371000     		du = 89.187300161024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42425366)-sin(-1.42426766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146018735076399-0.146004885116542)×R²
    abs(2.62262778-2.62253190)×1.38499598574537e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.38499598574537e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.38499598574537e-05×40589641000000     		ar = 7955.34935307772m²