Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60121 / 82066
↖ ↑ ↗
← S 41.281935°
W 14.872742°		 ← 229.52 m → S 41.281935°
W 14.869995°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
S 41.283998°
W 14.872742°		 ← 229.51 m →
52 670 m²		 S 41.283998°
W 14.869995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458690643310547 y=0.626117706298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458690643310547 × 217)
    floor (0.458690643310547 × 131072)
    floor (60121.5)     		tx = 60121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626117706298828 × 217)
    floor (0.626117706298828 × 131072)
    floor (82066.5)     		ty = 82066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60121 / 82066 ti = "17/60121/82066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60121/82066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60121 ÷ 217
    60121 ÷ 131072     		x = 0.458686828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82066 ÷ 217
    82066 ÷ 131072     		y = 0.626113891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458686828613281 × 2 - 1) × π
    -0.0826263427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25957831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626113891601562 × 2 - 1) × π
    -0.252227783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.792396950719528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25957831} λ = -0.25957831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792396950719528))-π/2
    2×atan(0.452758254386456)-π/2
    2×0.425145323591034-π/2
    0.850290647182067-1.57079632675     		φ = -0.72050568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25957831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.872742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72050568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.281935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60121 KachelY 82066 -0.25957831 -0.72050568 -14.872742 -41.281935
    Oben rechts KachelX + 1 60122 KachelY 82066 -0.25953037 -0.72050568 -14.869995 -41.281935
    Unten links KachelX 60121 KachelY + 1 82067 -0.25957831 -0.72054170 -14.872742 -41.283998
    Unten rechts KachelX + 1 60122 KachelY + 1 82067 -0.25953037 -0.72054170 -14.869995 -41.283998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72050568--0.72054170) × R
    3.60199999999145e-05 × 6371000     		dl = 229.483419999455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72050568--0.72054170) × R
    3.60199999999145e-05 × 6371000     		dr = 229.483419999455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25957831--0.25953037) × cos(-0.72050568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751472195391213 × 6371000     		do = 229.518951366635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25957831--0.25953037) × cos(-0.72054170) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75144843017704 × 6371000     		du = 229.51169285851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72050568)-sin(-0.72054170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751472195391213-0.75144843017704)×R²
    abs(-0.25953037--0.25957831)×2.37652141729106e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37652141729106e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37652141729106e-05×40589641000000     		ar = 52669.9610663375m²