Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60121 / 60013
↖ ↑ ↗
← S 81.606130°
E150.254517°		 ← 89.16 m → S 81.606130°
E150.260010°		 →
↑
89.19 m
↓
↑
89.19 m
↓
S 81.606932°
E150.254517°		 ← 89.15 m →
7 952 m²		 S 81.606932°
E150.260010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917381286621094 y=0.915733337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917381286621094 × 216)
    floor (0.917381286621094 × 65536)
    floor (60121.5)     		tx = 60121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915733337402344 × 216)
    floor (0.915733337402344 × 65536)
    floor (60013.5)     		ty = 60013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60121 / 60013 ti = "16/60121/60013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60121/60013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60121 ÷ 216
    60121 ÷ 65536     		x = 0.917373657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60013 ÷ 216
    60013 ÷ 65536     		y = 0.915725708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917373657226562 × 2 - 1) × π
    0.834747314453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.62243603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915725708007812 × 2 - 1) × π
    -0.831451416015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.61208166029686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62243603} λ = 2.62243603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61208166029686))-π/2
    2×atan(0.0733816290363345)-π/2
    2×0.0732503362873447-π/2
    0.146500672574689-1.57079632675     		φ = -1.42429565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62243603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.254517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42429565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.606130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60121 KachelY 60013 2.62243603 -1.42429565 150.254517 -81.606130
    Oben rechts KachelX + 1 60122 KachelY 60013 2.62253190 -1.42429565 150.260010 -81.606130
    Unten links KachelX 60121 KachelY + 1 60014 2.62243603 -1.42430965 150.254517 -81.606932
    Unten rechts KachelX + 1 60122 KachelY + 1 60014 2.62253190 -1.42430965 150.260010 -81.606932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42429565--1.42430965) × R
    1.40000000001805e-05 × 6371000     		dl = 89.1940000011502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42429565--1.42430965) × R
    1.40000000001805e-05 × 6371000     		dr = 89.1940000011502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62243603-2.62253190) × cos(-1.42429565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145977195003858 × 6371000     		do = 89.1610854072596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62243603-2.62253190) × cos(-1.42430965) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145963344958178 × 6371000     		du = 89.1526259687444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42429565)-sin(-1.42430965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145977195003858-0.145963344958178)×R²
    abs(2.62253190-2.62243603)×1.38500456799417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38500456799417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38500456799417e-05×40589641000000     		ar = 7952.25658631206m²