Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60121 / 55863
↖ ↑ ↗
← N 25.663809°
W 14.872742°		 ← 275.30 m → N 25.663809°
W 14.869995°		 →
↑
275.29 m
↓
↑
275.29 m
↓
N 25.661333°
W 14.872742°		 ← 275.30 m →
75 787 m²		 N 25.661333°
W 14.869995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458690643310547 y=0.426204681396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458690643310547 × 217)
    floor (0.458690643310547 × 131072)
    floor (60121.5)     		tx = 60121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426204681396484 × 217)
    floor (0.426204681396484 × 131072)
    floor (55863.5)     		ty = 55863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60121 / 55863 ti = "17/60121/55863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60121/55863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60121 ÷ 217
    60121 ÷ 131072     		x = 0.458686828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55863 ÷ 217
    55863 ÷ 131072     		y = 0.426200866699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458686828613281 × 2 - 1) × π
    -0.0826263427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25957831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426200866699219 × 2 - 1) × π
    0.147598266601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.463693630024803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25957831} λ = -0.25957831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463693630024803))-π/2
    2×atan(1.589935787227)-π/2
    2×1.00935714760075-π/2
    2.0187142952015-1.57079632675     		φ = 0.44791797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25957831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.872742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44791797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.663809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60121 KachelY 55863 -0.25957831 0.44791797 -14.872742 25.663809
    Oben rechts KachelX + 1 60122 KachelY 55863 -0.25953037 0.44791797 -14.869995 25.663809
    Unten links KachelX 60121 KachelY + 1 55864 -0.25957831 0.44787476 -14.872742 25.661333
    Unten rechts KachelX + 1 60122 KachelY + 1 55864 -0.25953037 0.44787476 -14.869995 25.661333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44791797-0.44787476) × R
    4.32100000000157e-05 × 6371000     		dl = 275.2909100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44791797-0.44787476) × R
    4.32100000000157e-05 × 6371000     		dr = 275.2909100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25957831--0.25953037) × cos(0.44791797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901350761339011 × 6371000     		do = 275.29572328135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25957831--0.25953037) × cos(0.44787476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901369474309311 × 6371000     		du = 275.301438704152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44791797)-sin(0.44787476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901350761339011-0.901369474309311)×R²
    abs(-0.25953037--0.25957831)×1.87129702993172e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87129702993172e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87129702993172e-05×40589641000000     		ar = 75787.1968949905m²