Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60120 / 83608
↖ ↑ ↗
← S 44.386691°
W 14.875488°		 ← 218.27 m → S 44.386691°
W 14.872742°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
S 44.388654°
W 14.875488°		 ← 218.26 m →
47 641 m²		 S 44.388654°
W 14.872742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458683013916016 y=0.637882232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458683013916016 × 217)
    floor (0.458683013916016 × 131072)
    floor (60120.5)     		tx = 60120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637882232666016 × 217)
    floor (0.637882232666016 × 131072)
    floor (83608.5)     		ty = 83608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60120 / 83608 ti = "17/60120/83608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60120/83608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60120 ÷ 217
    60120 ÷ 131072     		x = 0.45867919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83608 ÷ 217
    83608 ÷ 131072     		y = 0.63787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45867919921875 × 2 - 1) × π
    -0.0826416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25962625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2757568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.866315649933655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25962625} λ = -0.25962625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866315649933655))-π/2
    2×atan(0.420497960426665)-π/2
    2×0.398051208016525-π/2
    0.796102416033051-1.57079632675     		φ = -0.77469391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25962625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.875488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77469391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.386691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60120 KachelY 83608 -0.25962625 -0.77469391 -14.875488 -44.386691
    Oben rechts KachelX + 1 60121 KachelY 83608 -0.25957831 -0.77469391 -14.872742 -44.386691
    Unten links KachelX 60120 KachelY + 1 83609 -0.25962625 -0.77472817 -14.875488 -44.388654
    Unten rechts KachelX + 1 60121 KachelY + 1 83609 -0.25957831 -0.77472817 -14.872742 -44.388654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77469391--0.77472817) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dl = 218.270460000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77469391--0.77472817) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dr = 218.270460000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25962625--0.25957831) × cos(-0.77469391) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.714635176678648 × 6371000     		do = 218.267977667216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25962625--0.25957831) × cos(-0.77472817) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.714611211479512 × 6371000     		du = 218.260658078536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77469391)-sin(-0.77472817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714635176678648-0.714611211479512)×R²
    abs(-0.25957831--0.25962625)×2.39651991359446e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39651991359446e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39651991359446e-05×40589641000000     		ar = 47640.6530685156m²