Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6012 / 7036
↖ ↑ ↗
← N 24.607069°
W 47.900391°		 ← 2 221.39 m → N 24.607069°
W 47.878418°		 →
↑
2 221.57 m
↓
↑
2 221.57 m
↓
N 24.587090°
W 47.900391°		 ← 2 221.75 m →
4 935 366 m²		 N 24.587090°
W 47.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366973876953125 y=0.429473876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366973876953125 × 214)
    floor (0.366973876953125 × 16384)
    floor (6012.5)     		tx = 6012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429473876953125 × 214)
    floor (0.429473876953125 × 16384)
    floor (7036.5)     		ty = 7036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6012 / 7036 ti = "14/6012/7036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6012/7036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6012 ÷ 214
    6012 ÷ 16384     		x = 0.366943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7036 ÷ 214
    7036 ÷ 16384     		y = 0.429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366943359375 × 2 - 1) × π
    -0.26611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83601953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429443359375 × 2 - 1) × π
    0.14111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.443320447686279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83601953} λ = -0.83601953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443320447686279))-π/2
    2×atan(1.55787147067226)-π/2
    2×1.00013535125115-π/2
    2.00027070250229-1.57079632675     		φ = 0.42947438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83601953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42947438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.607069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6012 KachelY 7036 -0.83601953 0.42947438 -47.900391 24.607069
    Oben rechts KachelX + 1 6013 KachelY 7036 -0.83563603 0.42947438 -47.878418 24.607069
    Unten links KachelX 6012 KachelY + 1 7037 -0.83601953 0.42912568 -47.900391 24.587090
    Unten rechts KachelX + 1 6013 KachelY + 1 7037 -0.83563603 0.42912568 -47.878418 24.587090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42947438-0.42912568) × R
    0.00034869999999998 × 6371000     		dl = 2221.56769999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42947438-0.42912568) × R
    0.00034869999999998 × 6371000     		dr = 2221.56769999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83601953--0.83563603) × cos(0.42947438) × R
    0.000383499999999981 × 0.909184739733086 × 6371000     		do = 2221.39152711784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83601953--0.83563603) × cos(0.42912568) × R
    0.000383499999999981 × 0.909329880685624 × 6371000     		du = 2221.74614688664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42947438)-sin(0.42912568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909184739733086-0.909329880685624)×R²
    abs(-0.83563603--0.83601953)×0.000145140952537814×R²
    0.000383499999999981×0.000145140952537814×6371000²
    0.000383499999999981×0.000145140952537814×40589641000000     		ar = 4935365.62161934m²