Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60118 / 30686
↖ ↑ ↗
← N 68.690517°
W 14.880981°		 ← 110.97 m → N 68.690517°
W 14.878235°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
N 68.689519°
W 14.880981°		 ← 110.98 m →
12 323 m²		 N 68.689519°
W 14.878235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458667755126953 y=0.234119415283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458667755126953 × 217)
    floor (0.458667755126953 × 131072)
    floor (60118.5)     		tx = 60118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234119415283203 × 217)
    floor (0.234119415283203 × 131072)
    floor (30686.5)     		ty = 30686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60118 / 30686 ti = "17/60118/30686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60118/30686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60118 ÷ 217
    60118 ÷ 131072     		x = 0.458663940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30686 ÷ 217
    30686 ÷ 131072     		y = 0.234115600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458663940429688 × 2 - 1) × π
    -0.082672119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25972212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234115600585938 × 2 - 1) × π
    0.531768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.67060095175896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25972212} λ = -0.25972212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67060095175896))-π/2
    2×atan(5.31536111318109)-π/2
    2×1.38483600610912-π/2
    2.76967201221823-1.57079632675     		φ = 1.19887569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25972212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.880981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19887569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.690517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60118 KachelY 30686 -0.25972212 1.19887569 -14.880981 68.690517
    Oben rechts KachelX + 1 60119 KachelY 30686 -0.25967419 1.19887569 -14.878235 68.690517
    Unten links KachelX 60118 KachelY + 1 30687 -0.25972212 1.19885826 -14.880981 68.689519
    Unten rechts KachelX + 1 60119 KachelY + 1 30687 -0.25967419 1.19885826 -14.878235 68.689519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19887569-1.19885826) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19887569-1.19885826) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25972212--0.25967419) × cos(1.19887569) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.363405426097348 × 6371000     		do = 110.970218626041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25972212--0.25967419) × cos(1.19885826) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.363421664372123 × 6371000     		du = 110.97517717859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19887569)-sin(1.19885826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363405426097348-0.363421664372123)×R²
    abs(-0.25967419--0.25972212)×1.62382747745382e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.62382747745382e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.62382747745382e-05×40589641000000     		ar = 12323.1330271029m²