Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60115 / 41818
↖ ↑ ↗
← N 54.428518°
W 14.889221°		 ← 177.63 m → N 54.428518°
W 14.886475°		 →
↑
177.69 m
↓
↑
177.69 m
↓
N 54.426920°
W 14.889221°		 ← 177.64 m →
31 564 m²		 N 54.426920°
W 14.886475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458644866943359 y=0.319049835205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458644866943359 × 217)
    floor (0.458644866943359 × 131072)
    floor (60115.5)     		tx = 60115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319049835205078 × 217)
    floor (0.319049835205078 × 131072)
    floor (41818.5)     		ty = 41818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60115 / 41818 ti = "17/60115/41818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60115/41818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60115 ÷ 217
    60115 ÷ 131072     		x = 0.458641052246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41818 ÷ 217
    41818 ÷ 131072     		y = 0.319046020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458641052246094 × 2 - 1) × π
    -0.0827178955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25986593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319046020507812 × 2 - 1) × π
    0.361907958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13696738518849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25986593} λ = -0.25986593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13696738518849))-π/2
    2×atan(3.11730044466392)-π/2
    2×1.26037658215736-π/2
    2.52075316431471-1.57079632675     		φ = 0.94995684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25986593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.889221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94995684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.428518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60115 KachelY 41818 -0.25986593 0.94995684 -14.889221 54.428518
    Oben rechts KachelX + 1 60116 KachelY 41818 -0.25981800 0.94995684 -14.886475 54.428518
    Unten links KachelX 60115 KachelY + 1 41819 -0.25986593 0.94992895 -14.889221 54.426920
    Unten rechts KachelX + 1 60116 KachelY + 1 41819 -0.25981800 0.94992895 -14.886475 54.426920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94995684-0.94992895) × R
    2.78900000000304e-05 × 6371000     		dl = 177.687190000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94995684-0.94992895) × R
    2.78900000000304e-05 × 6371000     		dr = 177.687190000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25986593--0.25981800) × cos(0.94995684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.581718195935284 × 6371000     		do = 177.634649198845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25986593--0.25981800) × cos(0.94992895) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.581740881167252 × 6371000     		du = 177.64157640733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94995684)-sin(0.94992895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581718195935284-0.581740881167252)×R²
    abs(-0.25981800--0.25986593)×2.26852319683557e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26852319683557e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26852319683557e-05×40589641000000     		ar = 31564.0171029304m²