Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60114 / 34258
↖ ↑ ↗
← N 64.827918°
W 14.891968°		 ← 129.91 m → N 64.827918°
W 14.889221°		 →
↑
129.90 m
↓
↑
129.90 m
↓
N 64.826749°
W 14.891968°		 ← 129.91 m →
16 876 m²		 N 64.826749°
W 14.889221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458637237548828 y=0.261371612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458637237548828 × 217)
    floor (0.458637237548828 × 131072)
    floor (60114.5)     		tx = 60114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261371612548828 × 217)
    floor (0.261371612548828 × 131072)
    floor (34258.5)     		ty = 34258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60114 / 34258 ti = "17/60114/34258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60114/34258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60114 ÷ 217
    60114 ÷ 131072     		x = 0.458633422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34258 ÷ 217
    34258 ÷ 131072     		y = 0.261367797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458633422851562 × 2 - 1) × π
    -0.082733154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25991387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261367797851562 × 2 - 1) × π
    0.477264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49937034631612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25991387} λ = -0.25991387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49937034631612))-π/2
    2×atan(4.47886804653212)-π/2
    2×1.35112846623752-π/2
    2.70225693247505-1.57079632675     		φ = 1.13146061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25991387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.891968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13146061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.827918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60114 KachelY 34258 -0.25991387 1.13146061 -14.891968 64.827918
    Oben rechts KachelX + 1 60115 KachelY 34258 -0.25986593 1.13146061 -14.889221 64.827918
    Unten links KachelX 60114 KachelY + 1 34259 -0.25991387 1.13144022 -14.891968 64.826749
    Unten rechts KachelX + 1 60115 KachelY + 1 34259 -0.25986593 1.13144022 -14.889221 64.826749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13146061-1.13144022) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dl = 129.904689999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13146061-1.13144022) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dr = 129.904689999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25991387--0.25986593) × cos(1.13146061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425338359797921 × 6371000     		do = 129.909283291581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25991387--0.25986593) × cos(1.13144022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425356813361081 × 6371000     		du = 129.914919484765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13146061)-sin(1.13144022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425338359797921-0.425356813361081)×R²
    abs(-0.25986593--0.25991387)×1.8453563160381e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8453563160381e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8453563160381e-05×40589641000000     		ar = 16876.1912586874m²