Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60113 / 83411
↖ ↑ ↗
← S 43.998742°
W 14.894715°		 ← 219.71 m → S 43.998742°
W 14.891968°		 →
↑
219.67 m
↓
↑
219.67 m
↓
S 44.000718°
W 14.894715°		 ← 219.70 m →
48 263 m²		 S 44.000718°
W 14.891968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458629608154297 y=0.636379241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458629608154297 × 217)
    floor (0.458629608154297 × 131072)
    floor (60113.5)     		tx = 60113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636379241943359 × 217)
    floor (0.636379241943359 × 131072)
    floor (83411.5)     		ty = 83411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60113 / 83411 ti = "17/60113/83411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60113/83411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60113 ÷ 217
    60113 ÷ 131072     		x = 0.458625793457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83411 ÷ 217
    83411 ÷ 131072     		y = 0.636375427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458625793457031 × 2 - 1) × π
    -0.0827484130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25996181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636375427246094 × 2 - 1) × π
    -0.272750854492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.856872080708504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25996181} λ = -0.25996181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856872080708504))-π/2
    2×atan(0.424487771401826)-π/2
    2×0.401436705220015-π/2
    0.80287341044003-1.57079632675     		φ = -0.76792292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25996181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.894715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76792292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.998742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60113 KachelY 83411 -0.25996181 -0.76792292 -14.894715 -43.998742
    Oben rechts KachelX + 1 60114 KachelY 83411 -0.25991387 -0.76792292 -14.891968 -43.998742
    Unten links KachelX 60113 KachelY + 1 83412 -0.25996181 -0.76795740 -14.894715 -44.000718
    Unten rechts KachelX + 1 60114 KachelY + 1 83412 -0.25991387 -0.76795740 -14.891968 -44.000718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76792292--0.76795740) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000     		dl = 219.672080000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76792292--0.76795740) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000     		dr = 219.672080000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25996181--0.25991387) × cos(-0.76792292) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.719355048526144 × 6371000     		do = 219.709548018944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25996181--0.25991387) × cos(-0.76795740) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.719331096822375 × 6371000     		du = 219.702232552096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76792292)-sin(-0.76795740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719355048526144-0.719331096822375)×R²
    abs(-0.25991387--0.25996181)×2.39517037687875e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39517037687875e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39517037687875e-05×40589641000000     		ar = 48263.2499121317m²