Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60113 / 30682
↖ ↑ ↗
← N 68.694509°
W 14.894715°		 ← 110.97 m → N 68.694509°
W 14.891968°		 →
↑
110.98 m
↓
↑
110.98 m
↓
N 68.693511°
W 14.894715°		 ← 110.98 m →
12 316 m²		 N 68.693511°
W 14.891968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458629608154297 y=0.234088897705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458629608154297 × 217)
    floor (0.458629608154297 × 131072)
    floor (60113.5)     		tx = 60113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234088897705078 × 217)
    floor (0.234088897705078 × 131072)
    floor (30682.5)     		ty = 30682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60113 / 30682 ti = "17/60113/30682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60113/30682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60113 ÷ 217
    60113 ÷ 131072     		x = 0.458625793457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30682 ÷ 217
    30682 ÷ 131072     		y = 0.234085083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458625793457031 × 2 - 1) × π
    -0.0827484130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25996181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234085083007812 × 2 - 1) × π
    0.531829833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.67079269935744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25996181} λ = -0.25996181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67079269935744))-π/2
    2×atan(5.31638041863116)-π/2
    2×1.38487084405658-π/2
    2.76974168811315-1.57079632675     		φ = 1.19894536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25996181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.894715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19894536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.694509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60113 KachelY 30682 -0.25996181 1.19894536 -14.894715 68.694509
    Oben rechts KachelX + 1 60114 KachelY 30682 -0.25991387 1.19894536 -14.891968 68.694509
    Unten links KachelX 60113 KachelY + 1 30683 -0.25996181 1.19892794 -14.894715 68.693511
    Unten rechts KachelX + 1 60114 KachelY + 1 30683 -0.25991387 1.19892794 -14.891968 68.693511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19894536-1.19892794) × R
    1.74200000000457e-05 × 6371000     		dl = 110.982820000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19894536-1.19892794) × R
    1.74200000000457e-05 × 6371000     		dr = 110.982820000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25996181--0.25991387) × cos(1.19894536) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363340518477077 × 6371000     		do = 110.973546727901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25996181--0.25991387) × cos(1.19892794) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363356747876622 × 6371000     		du = 110.978503604266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19894536)-sin(1.19892794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363340518477077-0.363356747876622)×R²
    abs(-0.25991387--0.25996181)×1.62293995449314e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.62293995449314e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.62293995449314e-05×40589641000000     		ar = 12316.4322256918m²