Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60112 / 42055
↖ ↑ ↗
← N 54.048102°
W 14.897461°		 ← 179.28 m → N 54.048102°
W 14.894715°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
N 54.046489°
W 14.897461°		 ← 179.29 m →
32 153 m²		 N 54.046489°
W 14.894715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458621978759766 y=0.320858001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458621978759766 × 217)
    floor (0.458621978759766 × 131072)
    floor (60112.5)     		tx = 60112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320858001708984 × 217)
    floor (0.320858001708984 × 131072)
    floor (42055.5)     		ty = 42055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60112 / 42055 ti = "17/60112/42055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60112/42055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60112 ÷ 217
    60112 ÷ 131072     		x = 0.4586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42055 ÷ 217
    42055 ÷ 131072     		y = 0.320854187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26000974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320854187011719 × 2 - 1) × π
    0.358291625976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.12560633997854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26000974} λ = -0.26000974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12560633997854))-π/2
    2×atan(3.0820850738686)-π/2
    2×1.25705682776378-π/2
    2.51411365552756-1.57079632675     		φ = 0.94331733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26000974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.897461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94331733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.048102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60112 KachelY 42055 -0.26000974 0.94331733 -14.897461 54.048102
    Oben rechts KachelX + 1 60113 KachelY 42055 -0.25996181 0.94331733 -14.894715 54.048102
    Unten links KachelX 60112 KachelY + 1 42056 -0.26000974 0.94328918 -14.897461 54.046489
    Unten rechts KachelX + 1 60113 KachelY + 1 42056 -0.25996181 0.94328918 -14.894715 54.046489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94331733-0.94328918) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dl = 179.343650000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94331733-0.94328918) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dr = 179.343650000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26000974--0.25996181) × cos(0.94331733) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.587105848020579 × 6371000     		do = 179.279833576337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26000974--0.25996181) × cos(0.94328918) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.58712863549938 × 6371000     		du = 179.286792007123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94331733)-sin(0.94328918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587105848020579-0.58712863549938)×R²
    abs(-0.25996181--0.26000974)×2.27874788016891e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.27874788016891e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.27874788016891e-05×40589641000000     		ar = 32153.323702257m²