Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60109 / 82355
↖ ↑ ↗
← S 41.875696°
W 14.905700°		 ← 227.37 m → S 41.875696°
W 14.902954°		 →
↑
227.38 m
↓
↑
227.38 m
↓
S 41.877741°
W 14.905700°		 ← 227.36 m →
51 699 m²		 S 41.877741°
W 14.902954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458599090576172 y=0.628322601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458599090576172 × 217)
    floor (0.458599090576172 × 131072)
    floor (60109.5)     		tx = 60109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628322601318359 × 217)
    floor (0.628322601318359 × 131072)
    floor (82355.5)     		ty = 82355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60109 / 82355 ti = "17/60109/82355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60109/82355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60109 ÷ 217
    60109 ÷ 131072     		x = 0.458595275878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82355 ÷ 217
    82355 ÷ 131072     		y = 0.628318786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458595275878906 × 2 - 1) × π
    -0.0828094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26015355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628318786621094 × 2 - 1) × π
    -0.256637573242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.806250714709724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26015355} λ = -0.26015355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806250714709724))-π/2
    2×atan(0.446529096654307)-π/2
    2×0.41996377409233-π/2
    0.83992754818466-1.57079632675     		φ = -0.73086878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26015355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.905700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73086878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.875696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60109 KachelY 82355 -0.26015355 -0.73086878 -14.905700 -41.875696
    Oben rechts KachelX + 1 60110 KachelY 82355 -0.26010562 -0.73086878 -14.902954 -41.875696
    Unten links KachelX 60109 KachelY + 1 82356 -0.26015355 -0.73090447 -14.905700 -41.877741
    Unten rechts KachelX + 1 60110 KachelY + 1 82356 -0.26010562 -0.73090447 -14.902954 -41.877741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73086878--0.73090447) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dl = 227.380990000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73086878--0.73090447) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dr = 227.380990000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26015355--0.26010562) × cos(-0.73086878) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744594758195392 × 6371000     		do = 227.370966890043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26015355--0.26010562) × cos(-0.73090447) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744570934047443 × 6371000     		du = 227.363691899863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73086878)-sin(-0.73090447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744594758195392-0.744570934047443)×R²
    abs(-0.26010562--0.26015355)×2.38241479492141e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38241479492141e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38241479492141e-05×40589641000000     		ar = 51699.0084569171m²