Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60108 / 42051
↖ ↑ ↗
← N 54.054552°
W 14.908447°		 ← 179.29 m → N 54.054552°
W 14.905700°		 →
↑
179.28 m
↓
↑
179.28 m
↓
N 54.052939°
W 14.908447°		 ← 179.30 m →
32 144 m²		 N 54.052939°
W 14.905700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458591461181641 y=0.320827484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458591461181641 × 217)
    floor (0.458591461181641 × 131072)
    floor (60108.5)     		tx = 60108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320827484130859 × 217)
    floor (0.320827484130859 × 131072)
    floor (42051.5)     		ty = 42051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60108 / 42051 ti = "17/60108/42051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60108/42051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60108 ÷ 217
    60108 ÷ 131072     		x = 0.458587646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42051 ÷ 217
    42051 ÷ 131072     		y = 0.320823669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458587646484375 × 2 - 1) × π
    -0.08282470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26020149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320823669433594 × 2 - 1) × π
    0.358352661132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.12579808757702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26020149} λ = -0.26020149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12579808757702))-π/2
    2×atan(3.08267611294318)-π/2
    2×1.25711311146363-π/2
    2.51422622292726-1.57079632675     		φ = 0.94342990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26020149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.908447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94342990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.054552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60108 KachelY 42051 -0.26020149 0.94342990 -14.908447 54.054552
    Oben rechts KachelX + 1 60109 KachelY 42051 -0.26015355 0.94342990 -14.905700 54.054552
    Unten links KachelX 60108 KachelY + 1 42052 -0.26020149 0.94340176 -14.908447 54.052939
    Unten rechts KachelX + 1 60109 KachelY + 1 42052 -0.26015355 0.94340176 -14.905700 54.052939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94342990-0.94340176) × R
    2.81400000000653e-05 × 6371000     		dl = 179.279940000416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94342990-0.94340176) × R
    2.81400000000653e-05 × 6371000     		dr = 179.279940000416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26020149--0.26015355) × cos(0.94342990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587014717740482 × 6371000     		do = 179.28940455666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26020149--0.26015355) × cos(0.94340176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587037498984025 × 6371000     		du = 179.296362534828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94342990)-sin(0.94340176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587014717740482-0.587037498984025)×R²
    abs(-0.26015355--0.26020149)×2.27812435437125e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27812435437125e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27812435437125e-05×40589641000000     		ar = 32143.6174067293m²