Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60106 / 82357
↖ ↑ ↗
← S 41.879786°
W 14.913940°		 ← 227.36 m → S 41.879786°
W 14.911194°		 →
↑
227.38 m
↓
↑
227.38 m
↓
S 41.881831°
W 14.913940°		 ← 227.35 m →
51 696 m²		 S 41.881831°
W 14.911194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458576202392578 y=0.628337860107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458576202392578 × 217)
    floor (0.458576202392578 × 131072)
    floor (60106.5)     		tx = 60106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628337860107422 × 217)
    floor (0.628337860107422 × 131072)
    floor (82357.5)     		ty = 82357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60106 / 82357 ti = "17/60106/82357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60106/82357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60106 ÷ 217
    60106 ÷ 131072     		x = 0.458572387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82357 ÷ 217
    82357 ÷ 131072     		y = 0.628334045410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458572387695312 × 2 - 1) × π
    -0.082855224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26029736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628334045410156 × 2 - 1) × π
    -0.256668090820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.806346588508965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26029736} λ = -0.26029736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806346588508965))-π/2
    2×atan(0.446486288265474)-π/2
    2×0.419928081670257-π/2
    0.839856163340515-1.57079632675     		φ = -0.73094016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26029736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.913940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73094016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.879786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60106 KachelY 82357 -0.26029736 -0.73094016 -14.913940 -41.879786
    Oben rechts KachelX + 1 60107 KachelY 82357 -0.26024943 -0.73094016 -14.911194 -41.879786
    Unten links KachelX 60106 KachelY + 1 82358 -0.26029736 -0.73097585 -14.913940 -41.881831
    Unten rechts KachelX + 1 60107 KachelY + 1 82358 -0.26024943 -0.73097585 -14.911194 -41.881831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73094016--0.73097585) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dl = 227.380990000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73094016--0.73097585) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dr = 227.380990000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26029736--0.26024943) × cos(-0.73094016) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.744547108951077 × 6371000     		do = 227.356416619808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26029736--0.26024943) × cos(-0.73097585) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.744523282906325 × 6371000     		du = 227.349141050416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73094016)-sin(-0.73097585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744547108951077-0.744523282906325)×R²
    abs(-0.26024943--0.26029736)×2.3826044752262e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3826044752262e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3826044752262e-05×40589641000000     		ar = 51695.6999361527m²