Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60105 / 83682
↖ ↑ ↗
← S 44.531759°
W 14.916687°		 ← 217.73 m → S 44.531759°
W 14.913940°		 →
↑
217.70 m
↓
↑
217.70 m
↓
S 44.533716°
W 14.916687°		 ← 217.72 m →
47 398 m²		 S 44.533716°
W 14.913940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458568572998047 y=0.638446807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458568572998047 × 217)
    floor (0.458568572998047 × 131072)
    floor (60105.5)     		tx = 60105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638446807861328 × 217)
    floor (0.638446807861328 × 131072)
    floor (83682.5)     		ty = 83682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60105 / 83682 ti = "17/60105/83682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60105/83682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60105 ÷ 217
    60105 ÷ 131072     		x = 0.458564758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83682 ÷ 217
    83682 ÷ 131072     		y = 0.638442993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458564758300781 × 2 - 1) × π
    -0.0828704833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26034530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638442993164062 × 2 - 1) × π
    -0.276885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.869862980505539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26034530} λ = -0.26034530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869862980505539))-π/2
    2×atan(0.41900895771007)-π/2
    2×0.396785257049818-π/2
    0.793570514099635-1.57079632675     		φ = -0.77722581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26034530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.916687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77722581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.531759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60105 KachelY 83682 -0.26034530 -0.77722581 -14.916687 -44.531759
    Oben rechts KachelX + 1 60106 KachelY 83682 -0.26029736 -0.77722581 -14.913940 -44.531759
    Unten links KachelX 60105 KachelY + 1 83683 -0.26034530 -0.77725998 -14.916687 -44.533716
    Unten rechts KachelX + 1 60106 KachelY + 1 83683 -0.26029736 -0.77725998 -14.913940 -44.533716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77722581--0.77725998) × R
    3.41699999999445e-05 × 6371000     		dl = 217.697069999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77722581--0.77725998) × R
    3.41699999999445e-05 × 6371000     		dr = 217.697069999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26034530--0.26029736) × cos(-0.77722581) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.712861830601861 × 6371000     		do = 217.726352129437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26034530--0.26029736) × cos(-0.77725998) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.712837866610723 × 6371000     		du = 217.719032909711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77722581)-sin(-0.77725998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712861830601861-0.712837866610723)×R²
    abs(-0.26029736--0.26034530)×2.39639911382428e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39639911382428e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39639911382428e-05×40589641000000     		ar = 47397.5922385657m²