Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60105 / 59971
↖ ↑ ↗
← S 81.572384°
E150.166626°		 ← 89.52 m → S 81.572384°
E150.172119°		 →
↑
89.51 m
↓
↑
89.51 m
↓
S 81.573189°
E150.166626°		 ← 89.51 m →
8 013 m²		 S 81.573189°
E150.172119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917137145996094 y=0.915092468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917137145996094 × 216)
    floor (0.917137145996094 × 65536)
    floor (60105.5)     		tx = 60105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915092468261719 × 216)
    floor (0.915092468261719 × 65536)
    floor (59971.5)     		ty = 59971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60105 / 59971 ti = "16/60105/59971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60105/59971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60105 ÷ 216
    60105 ÷ 65536     		x = 0.917129516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59971 ÷ 216
    59971 ÷ 65536     		y = 0.915084838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917129516601562 × 2 - 1) × π
    0.834259033203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.62090205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915084838867188 × 2 - 1) × π
    -0.830169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60805496072877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62090205} λ = 2.62090205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60805496072877))-π/2
    2×atan(0.0736777105258204)-π/2
    2×0.073544825585254-π/2
    0.147089651170508-1.57079632675     		φ = -1.42370668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62090205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.166626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42370668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.572384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60105 KachelY 59971 2.62090205 -1.42370668 150.166626 -81.572384
    Oben rechts KachelX + 1 60106 KachelY 59971 2.62099792 -1.42370668 150.172119 -81.572384
    Unten links KachelX 60105 KachelY + 1 59972 2.62090205 -1.42372073 150.166626 -81.573189
    Unten rechts KachelX + 1 60106 KachelY + 1 59972 2.62099792 -1.42372073 150.172119 -81.573189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42370668--1.42372073) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dl = 89.5125500006288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42370668--1.42372073) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dr = 89.5125500006288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62090205-2.62099792) × cos(-1.42370668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146559830578519 × 6371000     		do = 89.5169520906293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62090205-2.62099792) × cos(-1.42372073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146545932278657 × 6371000     		du = 89.5084631790502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42370668)-sin(-1.42372073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146559830578519-0.146545932278657)×R²
    abs(2.62099792-2.62090205)×1.38982998613701e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38982998613701e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38982998613701e-05×40589641000000     		ar = 8012.51071797554m²