Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60103 / 30653
↖ ↑ ↗
← N 68.723431°
W 14.922180°		 ← 110.83 m → N 68.723431°
W 14.919434°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
N 68.722434°
W 14.922180°		 ← 110.83 m →
12 286 m²		 N 68.722434°
W 14.919434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458553314208984 y=0.233867645263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458553314208984 × 217)
    floor (0.458553314208984 × 131072)
    floor (60103.5)     		tx = 60103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233867645263672 × 217)
    floor (0.233867645263672 × 131072)
    floor (30653.5)     		ty = 30653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60103 / 30653 ti = "17/60103/30653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60103/30653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60103 ÷ 217
    60103 ÷ 131072     		x = 0.458549499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30653 ÷ 217
    30653 ÷ 131072     		y = 0.233863830566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458549499511719 × 2 - 1) × π
    -0.0829010009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26044118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233863830566406 × 2 - 1) × π
    0.532272338867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.67218286944642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26044118} λ = -0.26044118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67218286944642))-π/2
    2×atan(5.32377623119841)-π/2
    2×1.38512323312794-π/2
    2.77024646625588-1.57079632675     		φ = 1.19945014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26044118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.922180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19945014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.723431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60103 KachelY 30653 -0.26044118 1.19945014 -14.922180 68.723431
    Oben rechts KachelX + 1 60104 KachelY 30653 -0.26039324 1.19945014 -14.919434 68.723431
    Unten links KachelX 60103 KachelY + 1 30654 -0.26044118 1.19943274 -14.922180 68.722434
    Unten rechts KachelX + 1 60104 KachelY + 1 30654 -0.26039324 1.19943274 -14.919434 68.722434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19945014-1.19943274) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19945014-1.19943274) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26044118--0.26039324) × cos(1.19945014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362870190683948 × 6371000     		do = 110.829896513513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26044118--0.26039324) × cos(1.19943274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362886404639779 × 6371000     		du = 110.834848672971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19945014)-sin(1.19943274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362870190683948-0.362886404639779)×R²
    abs(-0.26039324--0.26044118)×1.62139558311791e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62139558311791e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62139558311791e-05×40589641000000     		ar = 12286.3669971289m²