Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60101 / 83685
↖ ↑ ↗
← S 44.537632°
W 14.927673°		 ← 217.70 m → S 44.537632°
W 14.924927°		 →
↑
217.70 m
↓
↑
217.70 m
↓
S 44.539590°
W 14.927673°		 ← 217.70 m →
47 393 m²		 S 44.539590°
W 14.924927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458538055419922 y=0.638469696044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458538055419922 × 217)
    floor (0.458538055419922 × 131072)
    floor (60101.5)     		tx = 60101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638469696044922 × 217)
    floor (0.638469696044922 × 131072)
    floor (83685.5)     		ty = 83685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60101 / 83685 ti = "17/60101/83685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60101/83685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60101 ÷ 217
    60101 ÷ 131072     		x = 0.458534240722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83685 ÷ 217
    83685 ÷ 131072     		y = 0.638465881347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458534240722656 × 2 - 1) × π
    -0.0829315185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26053705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638465881347656 × 2 - 1) × π
    -0.276931762695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.870006791204399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26053705} λ = -0.26053705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.870006791204399))-π/2
    2×atan(0.418948704071696)-π/2
    2×0.396734001055776-π/2
    0.793468002111552-1.57079632675     		φ = -0.77732832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26053705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.927673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77732832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.537632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60101 KachelY 83685 -0.26053705 -0.77732832 -14.927673 -44.537632
    Oben rechts KachelX + 1 60102 KachelY 83685 -0.26048911 -0.77732832 -14.924927 -44.537632
    Unten links KachelX 60101 KachelY + 1 83686 -0.26053705 -0.77736249 -14.927673 -44.539590
    Unten rechts KachelX + 1 60102 KachelY + 1 83686 -0.26048911 -0.77736249 -14.924927 -44.539590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77732832--0.77736249) × R
    3.41700000000555e-05 × 6371000     		dl = 217.697070000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77732832--0.77736249) × R
    3.41700000000555e-05 × 6371000     		dr = 217.697070000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26053705--0.26048911) × cos(-0.77732832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.712789936131569 × 6371000     		do = 217.704393707395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26053705--0.26048911) × cos(-0.77736249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71276596964361 × 6371000     		du = 217.697073725074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77732832)-sin(-0.77736249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712789936131569-0.71276596964361)×R²
    abs(-0.26048911--0.26053705)×2.3966487959215e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3966487959215e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3966487959215e-05×40589641000000     		ar = 47392.8118715506m²