Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60100 / 30651
↖ ↑ ↗
← N 68.725424°
W 14.930420°		 ← 110.82 m → N 68.725424°
W 14.927673°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
N 68.724427°
W 14.930420°		 ← 110.82 m →
12 285 m²		 N 68.724427°
W 14.927673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458530426025391 y=0.233852386474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458530426025391 × 217)
    floor (0.458530426025391 × 131072)
    floor (60100.5)     		tx = 60100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233852386474609 × 217)
    floor (0.233852386474609 × 131072)
    floor (30651.5)     		ty = 30651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60100 / 30651 ti = "17/60100/30651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60100/30651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60100 ÷ 217
    60100 ÷ 131072     		x = 0.458526611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30651 ÷ 217
    30651 ÷ 131072     		y = 0.233848571777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458526611328125 × 2 - 1) × π
    -0.08294677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26058499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233848571777344 × 2 - 1) × π
    0.532302856445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.67227874324566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26058499} λ = -0.26058499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67227874324566))-π/2
    2×atan(5.32428666632029)-π/2
    2×1.38514062722287-π/2
    2.77028125444574-1.57079632675     		φ = 1.19948493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26058499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.930420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19948493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.725424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60100 KachelY 30651 -0.26058499 1.19948493 -14.930420 68.725424
    Oben rechts KachelX + 1 60101 KachelY 30651 -0.26053705 1.19948493 -14.927673 68.725424
    Unten links KachelX 60100 KachelY + 1 30652 -0.26058499 1.19946753 -14.930420 68.724427
    Unten rechts KachelX + 1 60101 KachelY + 1 30652 -0.26053705 1.19946753 -14.927673 68.724427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19948493-1.19946753) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19948493-1.19946753) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26058499--0.26053705) × cos(1.19948493) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.362837771761226 × 6371000     		do = 110.819994940179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26058499--0.26053705) × cos(1.19946753) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.362853985936714 × 6371000     		du = 110.824947166726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19948493)-sin(1.19946753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362837771761226-0.362853985936714)×R²
    abs(-0.26053705--0.26058499)×1.62141754883049e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.62141754883049e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.62141754883049e-05×40589641000000     		ar = 12285.2693579982m²