Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6010 / 10622
↖ ↑ ↗
← S 47.010226°
W 47.944336°		 ← 1 665.99 m → S 47.010226°
W 47.922363°		 →
↑
1 665.76 m
↓
↑
1 665.76 m
↓
S 47.025206°
W 47.944336°		 ← 1 665.53 m →
2 774 758 m²		 S 47.025206°
W 47.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366851806640625 y=0.648345947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366851806640625 × 214)
    floor (0.366851806640625 × 16384)
    floor (6010.5)     		tx = 6010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648345947265625 × 214)
    floor (0.648345947265625 × 16384)
    floor (10622.5)     		ty = 10622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6010 / 10622 ti = "14/6010/10622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6010/10622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6010 ÷ 214
    6010 ÷ 16384     		x = 0.3668212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10622 ÷ 214
    10622 ÷ 16384     		y = 0.6483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3668212890625 × 2 - 1) × π
    -0.266357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83678652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6483154296875 × 2 - 1) × π
    -0.296630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.931893328613892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83678652} λ = -0.83678652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.931893328613892))-π/2
    2×atan(0.393807397272952)-π/2
    2×0.375156553507936-π/2
    0.750313107015872-1.57079632675     		φ = -0.82048322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83678652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82048322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.010226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6010 KachelY 10622 -0.83678652 -0.82048322 -47.944336 -47.010226
    Oben rechts KachelX + 1 6011 KachelY 10622 -0.83640302 -0.82048322 -47.922363 -47.010226
    Unten links KachelX 6010 KachelY + 1 10623 -0.83678652 -0.82074468 -47.944336 -47.025206
    Unten rechts KachelX + 1 6011 KachelY + 1 10623 -0.83640302 -0.82074468 -47.922363 -47.025206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82048322--0.82074468) × R
    0.000261460000000047 × 6371000     		dl = 1665.7616600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82048322--0.82074468) × R
    0.000261460000000047 × 6371000     		dr = 1665.7616600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83678652--0.83640302) × cos(-0.82048322) × R
    0.000383499999999981 × 0.681867823363663 × 6371000     		do = 1665.99299266615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83678652--0.83640302) × cos(-0.82074468) × R
    0.000383499999999981 × 0.681676548499157 × 6371000     		du = 1665.52565490212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82048322)-sin(-0.82074468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681867823363663-0.681676548499157)×R²
    abs(-0.83640302--0.83678652)×0.000191274864505542×R²
    0.000383499999999981×0.000191274864505542×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191274864505542×40589641000000     		ar = 2774758.03215501m²