Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60099 / 30662
↖ ↑ ↗
← N 68.714459°
W 14.933166°		 ← 110.85 m → N 68.714459°
W 14.930420°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
N 68.713462°
W 14.933166°		 ← 110.86 m →
12 289 m²		 N 68.713462°
W 14.930420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458522796630859 y=0.233936309814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458522796630859 × 217)
    floor (0.458522796630859 × 131072)
    floor (60099.5)     		tx = 60099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233936309814453 × 217)
    floor (0.233936309814453 × 131072)
    floor (30662.5)     		ty = 30662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60099 / 30662 ti = "17/60099/30662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60099/30662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60099 ÷ 217
    60099 ÷ 131072     		x = 0.458518981933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30662 ÷ 217
    30662 ÷ 131072     		y = 0.233932495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458518981933594 × 2 - 1) × π
    -0.0829620361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26063292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233932495117188 × 2 - 1) × π
    0.532135009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.67175143734984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26063292} λ = -0.26063292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67175143734984))-π/2
    2×atan(5.32147987865298)-π/2
    2×1.3850449404678-π/2
    2.77008988093561-1.57079632675     		φ = 1.19929355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26063292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.933166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19929355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.714459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60099 KachelY 30662 -0.26063292 1.19929355 -14.933166 68.714459
    Oben rechts KachelX + 1 60100 KachelY 30662 -0.26058499 1.19929355 -14.930420 68.714459
    Unten links KachelX 60099 KachelY + 1 30663 -0.26063292 1.19927615 -14.933166 68.713462
    Unten rechts KachelX + 1 60100 KachelY + 1 30663 -0.26058499 1.19927615 -14.930420 68.713462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19929355-1.19927615) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19929355-1.19927615) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26063292--0.26058499) × cos(1.19929355) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.363016103012958 × 6371000     		do = 110.851334138666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26063292--0.26058499) × cos(1.19927615) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.363032315979869 × 6371000     		du = 110.856284963154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19929355)-sin(1.19927615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363016103012958-0.363032315979869)×R²
    abs(-0.26058499--0.26063292)×1.6212966910234e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.6212966910234e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.6212966910234e-05×40589641000000     		ar = 12288.7433995955m²