Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60098 / 30658
↖ ↑ ↗
← N 68.718447°
W 14.935913°		 ← 110.85 m → N 68.718447°
W 14.933166°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
N 68.717450°
W 14.935913°		 ← 110.86 m →
12 289 m²		 N 68.717450°
W 14.933166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458515167236328 y=0.233905792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458515167236328 × 217)
    floor (0.458515167236328 × 131072)
    floor (60098.5)     		tx = 60098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233905792236328 × 217)
    floor (0.233905792236328 × 131072)
    floor (30658.5)     		ty = 30658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60098 / 30658 ti = "17/60098/30658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60098/30658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60098 ÷ 217
    60098 ÷ 131072     		x = 0.458511352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30658 ÷ 217
    30658 ÷ 131072     		y = 0.233901977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458511352539062 × 2 - 1) × π
    -0.082977294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26068086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233901977539062 × 2 - 1) × π
    0.532196044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.67194318494832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26068086} λ = -0.26068086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67194318494832))-π/2
    2×atan(5.32250035747413)-π/2
    2×1.38507974109143-π/2
    2.77015948218286-1.57079632675     		φ = 1.19936316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26068086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.935913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19936316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.718447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60098 KachelY 30658 -0.26068086 1.19936316 -14.935913 68.718447
    Oben rechts KachelX + 1 60099 KachelY 30658 -0.26063292 1.19936316 -14.933166 68.718447
    Unten links KachelX 60098 KachelY + 1 30659 -0.26068086 1.19934576 -14.935913 68.717450
    Unten rechts KachelX + 1 60099 KachelY + 1 30659 -0.26063292 1.19934576 -14.933166 68.717450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19936316-1.19934576) × R
    1.74000000001673e-05 × 6371000     		dl = 110.855400001066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19936316-1.19934576) × R
    1.74000000001673e-05 × 6371000     		dr = 110.855400001066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26068086--0.26063292) × cos(1.19936316) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.362951240728217 × 6371000     		do = 110.85465128339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26068086--0.26063292) × cos(1.19934576) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.362967454134788 × 6371000     		du = 110.859603275089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19936316)-sin(1.19934576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362951240728217-0.362967454134788)×R²
    abs(-0.26063292--0.26068086)×1.62134065712083e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.62134065712083e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.62134065712083e-05×40589641000000     		ar = 12289.1111877925m²