Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60098 / 30654
↖ ↑ ↗
← N 68.722434°
W 14.935913°		 ← 110.83 m → N 68.722434°
W 14.933166°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
N 68.721437°
W 14.935913°		 ← 110.84 m →
12 280 m²		 N 68.721437°
W 14.933166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458515167236328 y=0.233875274658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458515167236328 × 217)
    floor (0.458515167236328 × 131072)
    floor (60098.5)     		tx = 60098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233875274658203 × 217)
    floor (0.233875274658203 × 131072)
    floor (30654.5)     		ty = 30654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60098 / 30654 ti = "17/60098/30654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60098/30654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60098 ÷ 217
    60098 ÷ 131072     		x = 0.458511352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30654 ÷ 217
    30654 ÷ 131072     		y = 0.233871459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458511352539062 × 2 - 1) × π
    -0.082977294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26068086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233871459960938 × 2 - 1) × π
    0.532257080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6721349325468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26068086} λ = -0.26068086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6721349325468))-π/2
    2×atan(5.3235210319884)-π/2
    2×1.38511453549772-π/2
    2.77022907099543-1.57079632675     		φ = 1.19943274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26068086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.935913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19943274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.722434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60098 KachelY 30654 -0.26068086 1.19943274 -14.935913 68.722434
    Oben rechts KachelX + 1 60099 KachelY 30654 -0.26063292 1.19943274 -14.933166 68.722434
    Unten links KachelX 60098 KachelY + 1 30655 -0.26068086 1.19941535 -14.935913 68.721437
    Unten rechts KachelX + 1 60099 KachelY + 1 30655 -0.26063292 1.19941535 -14.933166 68.721437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19943274-1.19941535) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19943274-1.19941535) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26068086--0.26063292) × cos(1.19943274) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.362886404639779 × 6371000     		do = 110.8348486731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26068086--0.26063292) × cos(1.19941535) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.362902609167472 × 6371000     		du = 110.839797952962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19943274)-sin(1.19941535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362886404639779-0.362902609167472)×R²
    abs(-0.26063292--0.26068086)×1.62045276930201e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.62045276930201e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.62045276930201e-05×40589641000000     		ar = 12279.8543651918m²