Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60096 / 58688
↖ ↑ ↗
← S 80.474065°
E150.117188°		 ← 101.08 m → S 80.474065°
E150.122681°		 →
↑
101.11 m
↓
↑
101.11 m
↓
S 80.474974°
E150.117188°		 ← 101.07 m →
10 220 m²		 S 80.474974°
E150.122681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916999816894531 y=0.895515441894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916999816894531 × 216)
    floor (0.916999816894531 × 65536)
    floor (60096.5)     		tx = 60096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895515441894531 × 216)
    floor (0.895515441894531 × 65536)
    floor (58688.5)     		ty = 58688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60096 / 58688 ti = "16/60096/58688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60096/58688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60096 ÷ 216
    60096 ÷ 65536     		x = 0.9169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58688 ÷ 216
    58688 ÷ 65536     		y = 0.8955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9169921875 × 2 - 1) × π
    0.833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62003919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8955078125 × 2 - 1) × π
    -0.791015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.48504887630371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62003919} λ = 2.62003919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48504887630371))-π/2
    2×atan(0.0833214819665001)-π/2
    2×0.0831294622436292-π/2
    0.166258924487258-1.57079632675     		φ = -1.40453740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62003919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40453740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.474065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60096 KachelY 58688 2.62003919 -1.40453740 150.117188 -80.474065
    Oben rechts KachelX + 1 60097 KachelY 58688 2.62013506 -1.40453740 150.122681 -80.474065
    Unten links KachelX 60096 KachelY + 1 58689 2.62003919 -1.40455327 150.117188 -80.474974
    Unten rechts KachelX + 1 60097 KachelY + 1 58689 2.62013506 -1.40455327 150.122681 -80.474974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40453740--1.40455327) × R
    1.58700000001399e-05 × 6371000     		dl = 101.107770000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40453740--1.40455327) × R
    1.58700000001399e-05 × 6371000     		dr = 101.107770000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62003919-2.62013506) × cos(-1.40453740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165494028999507 × 6371000     		do = 101.081728920922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62003919-2.62013506) × cos(-1.40455327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165478377813397 × 6371000     		du = 101.07216936786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40453740)-sin(-1.40455327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165494028999507-0.165478377813397)×R²
    abs(2.62013506-2.62003919)×1.56511861097997e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56511861097997e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56511861097997e-05×40589641000000     		ar = 10219.6649268934m²