Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60095 / 85567
↖ ↑ ↗
← S 48.105597°
W 14.944153°		 ← 203.95 m → S 48.105597°
W 14.941406°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
S 48.107431°
W 14.944153°		 ← 203.94 m →
41 592 m²		 S 48.107431°
W 14.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458492279052734 y=0.652828216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458492279052734 × 217)
    floor (0.458492279052734 × 131072)
    floor (60095.5)     		tx = 60095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652828216552734 × 217)
    floor (0.652828216552734 × 131072)
    floor (85567.5)     		ty = 85567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60095 / 85567 ti = "17/60095/85567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60095/85567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60095 ÷ 217
    60095 ÷ 131072     		x = 0.458488464355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85567 ÷ 217
    85567 ÷ 131072     		y = 0.652824401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458488464355469 × 2 - 1) × π
    -0.0830230712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26082467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652824401855469 × 2 - 1) × π
    -0.305648803710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.960224036289345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26082467} λ = -0.26082467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960224036289345))-π/2
    2×atan(0.382807113682133)-π/2
    2×0.365597633831501-π/2
    0.731195267663001-1.57079632675     		φ = -0.83960106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26082467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.944153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83960106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.105597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60095 KachelY 85567 -0.26082467 -0.83960106 -14.944153 -48.105597
    Oben rechts KachelX + 1 60096 KachelY 85567 -0.26077673 -0.83960106 -14.941406 -48.105597
    Unten links KachelX 60095 KachelY + 1 85568 -0.26082467 -0.83963307 -14.944153 -48.107431
    Unten rechts KachelX + 1 60096 KachelY + 1 85568 -0.26077673 -0.83963307 -14.941406 -48.107431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83960106--0.83963307) × R
    3.20099999999712e-05 × 6371000     		dl = 203.935709999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83960106--0.83963307) × R
    3.20099999999712e-05 × 6371000     		dr = 203.935709999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26082467--0.26077673) × cos(-0.83960106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667759840645313 × 6371000     		do = 203.951043471243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26082467--0.26077673) × cos(-0.83963307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667736012802383 × 6371000     		du = 203.943765834684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83960106)-sin(-0.83963307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667759840645313-0.667736012802383)×R²
    abs(-0.26077673--0.26082467)×2.38278429298688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38278429298688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38278429298688e-05×40589641000000     		ar = 41592.1587739252m²