Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60095 / 30656
↖ ↑ ↗
← N 68.720440°
W 14.944153°		 ← 110.84 m → N 68.720440°
W 14.941406°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
N 68.719444°
W 14.944153°		 ← 110.85 m →
12 288 m²		 N 68.719444°
W 14.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458492279052734 y=0.233890533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458492279052734 × 217)
    floor (0.458492279052734 × 131072)
    floor (60095.5)     		tx = 60095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233890533447266 × 217)
    floor (0.233890533447266 × 131072)
    floor (30656.5)     		ty = 30656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60095 / 30656 ti = "17/60095/30656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60095/30656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60095 ÷ 217
    60095 ÷ 131072     		x = 0.458488464355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30656 ÷ 217
    30656 ÷ 131072     		y = 0.23388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458488464355469 × 2 - 1) × π
    -0.0830230712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26082467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23388671875 × 2 - 1) × π
    0.5322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.67203905874756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26082467} λ = -0.26082467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67203905874756))-π/2
    2×atan(5.32301067026728)-π/2
    2×1.38509713907168-π/2
    2.77019427814337-1.57079632675     		φ = 1.19939795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26082467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.944153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19939795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.720440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60095 KachelY 30656 -0.26082467 1.19939795 -14.944153 68.720440
    Oben rechts KachelX + 1 60096 KachelY 30656 -0.26077673 1.19939795 -14.941406 68.720440
    Unten links KachelX 60095 KachelY + 1 30657 -0.26082467 1.19938055 -14.944153 68.719444
    Unten rechts KachelX + 1 60096 KachelY + 1 30657 -0.26077673 1.19938055 -14.941406 68.719444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19939795-1.19938055) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19939795-1.19938055) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26082467--0.26077673) × cos(1.19939795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362918822903626 × 6371000     		do = 110.844750045196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26082467--0.26077673) × cos(1.19938055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362935036529903 × 6371000     		du = 110.849702104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19939795)-sin(1.19938055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362918822903626-0.362935036529903)×R²
    abs(-0.26077673--0.26082467)×1.62136262771839e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62136262771839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62136262771839e-05×40589641000000     		ar = 12288.0135857912m²