Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60094 / 41417
↖ ↑ ↗
← N 55.064214°
W 14.946900°		 ← 174.90 m → N 55.064214°
W 14.944153°		 →
↑
174.95 m
↓
↑
174.95 m
↓
N 55.062641°
W 14.946900°		 ← 174.91 m →
30 600 m²		 N 55.062641°
W 14.944153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458484649658203 y=0.315990447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458484649658203 × 217)
    floor (0.458484649658203 × 131072)
    floor (60094.5)     		tx = 60094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315990447998047 × 217)
    floor (0.315990447998047 × 131072)
    floor (41417.5)     		ty = 41417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60094 / 41417 ti = "17/60094/41417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60094/41417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60094 ÷ 217
    60094 ÷ 131072     		x = 0.458480834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41417 ÷ 217
    41417 ÷ 131072     		y = 0.315986633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458480834960938 × 2 - 1) × π
    -0.083038330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26087261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315986633300781 × 2 - 1) × π
    0.368026733398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.15619008193613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26087261} λ = -0.26087261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15619008193613))-π/2
    2×atan(3.17780301403034)-π/2
    2×1.26592408111908-π/2
    2.53184816223817-1.57079632675     		φ = 0.96105184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26087261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.946900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96105184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.064214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60094 KachelY 41417 -0.26087261 0.96105184 -14.946900 55.064214
    Oben rechts KachelX + 1 60095 KachelY 41417 -0.26082467 0.96105184 -14.944153 55.064214
    Unten links KachelX 60094 KachelY + 1 41418 -0.26087261 0.96102438 -14.946900 55.062641
    Unten rechts KachelX + 1 60095 KachelY + 1 41418 -0.26082467 0.96102438 -14.944153 55.062641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96105184-0.96102438) × R
    2.74599999999792e-05 × 6371000     		dl = 174.947659999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96105184-0.96102438) × R
    2.74599999999792e-05 × 6371000     		dr = 174.947659999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26087261--0.26082467) × cos(0.96105184) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572658010510266 × 6371000     		do = 174.904496627113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26087261--0.26082467) × cos(0.96102438) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572680521847654 × 6371000     		du = 174.911372168994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96105184)-sin(0.96102438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572658010510266-0.572680521847654)×R²
    abs(-0.26082467--0.26087261)×2.25113373886199e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25113373886199e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25113373886199e-05×40589641000000     		ar = 30599.7338403489m²