Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60094 / 30661
↖ ↑ ↗
← N 68.715456°
W 14.946900°		 ← 110.87 m → N 68.715456°
W 14.944153°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
N 68.714459°
W 14.946900°		 ← 110.87 m →
12 298 m²		 N 68.714459°
W 14.944153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458484649658203 y=0.233928680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458484649658203 × 217)
    floor (0.458484649658203 × 131072)
    floor (60094.5)     		tx = 60094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233928680419922 × 217)
    floor (0.233928680419922 × 131072)
    floor (30661.5)     		ty = 30661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60094 / 30661 ti = "17/60094/30661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60094/30661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60094 ÷ 217
    60094 ÷ 131072     		x = 0.458480834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30661 ÷ 217
    30661 ÷ 131072     		y = 0.233924865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458480834960938 × 2 - 1) × π
    -0.083038330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26087261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233924865722656 × 2 - 1) × π
    0.532150268554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.67179937424946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26087261} λ = -0.26087261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67179937424946))-π/2
    2×atan(5.32173498001409)-π/2
    2×1.38505364120664-π/2
    2.77010728241328-1.57079632675     		φ = 1.19931096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26087261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.946900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19931096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.715456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60094 KachelY 30661 -0.26087261 1.19931096 -14.946900 68.715456
    Oben rechts KachelX + 1 60095 KachelY 30661 -0.26082467 1.19931096 -14.944153 68.715456
    Unten links KachelX 60094 KachelY + 1 30662 -0.26087261 1.19929355 -14.946900 68.714459
    Unten rechts KachelX + 1 60095 KachelY + 1 30662 -0.26082467 1.19929355 -14.944153 68.714459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19931096-1.19929355) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19931096-1.19929355) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26087261--0.26082467) × cos(1.19931096) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.362999880618249 × 6371000     		do = 110.869507157796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26087261--0.26082467) × cos(1.19929355) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363016103012958 × 6371000     		du = 110.874461894705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19931096)-sin(1.19929355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362999880618249-0.363016103012958)×R²
    abs(-0.26082467--0.26087261)×1.62223947089979e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.62223947089979e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.62223947089979e-05×40589641000000     		ar = 12297.8218479391m²