Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60092 / 83659
↖ ↑ ↗
← S 44.486709°
W 14.952392°		 ← 217.89 m → S 44.486709°
W 14.949646°		 →
↑
217.89 m
↓
↑
217.89 m
↓
S 44.488668°
W 14.952392°		 ← 217.89 m →
47 476 m²		 S 44.488668°
W 14.949646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458469390869141 y=0.638271331787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458469390869141 × 217)
    floor (0.458469390869141 × 131072)
    floor (60092.5)     		tx = 60092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638271331787109 × 217)
    floor (0.638271331787109 × 131072)
    floor (83659.5)     		ty = 83659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60092 / 83659 ti = "17/60092/83659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60092/83659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60092 ÷ 217
    60092 ÷ 131072     		x = 0.458465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83659 ÷ 217
    83659 ÷ 131072     		y = 0.638267517089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.08306884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26096848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638267517089844 × 2 - 1) × π
    -0.276535034179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.868760431814278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26096848} λ = -0.26096848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868760431814278))-π/2
    2×atan(0.419471190258141)-π/2
    2×0.397178391418039-π/2
    0.794356782836077-1.57079632675     		φ = -0.77643954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26096848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.952392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77643954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.486709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60092 KachelY 83659 -0.26096848 -0.77643954 -14.952392 -44.486709
    Oben rechts KachelX + 1 60093 KachelY 83659 -0.26092054 -0.77643954 -14.949646 -44.486709
    Unten links KachelX 60092 KachelY + 1 83660 -0.26096848 -0.77647374 -14.952392 -44.488668
    Unten rechts KachelX + 1 60093 KachelY + 1 83660 -0.26092054 -0.77647374 -14.949646 -44.488668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77643954--0.77647374) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dl = 217.8881999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77643954--0.77647374) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dr = 217.8881999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26096848--0.26092054) × cos(-0.77643954) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.713413024886273 × 6371000     		do = 217.894701051638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26096848--0.26092054) × cos(-0.77647374) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.713389059031522 × 6371000     		du = 217.887381262716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77643954)-sin(-0.77647374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713413024886273-0.713389059031522)×R²
    abs(-0.26092054--0.26096848)×2.39658547509514e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39658547509514e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39658547509514e-05×40589641000000     		ar = 47475.8867583014m²