Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60092 / 41412
↖ ↑ ↗
← N 55.072078°
W 14.952392°		 ← 174.87 m → N 55.072078°
W 14.949646°		 →
↑
174.88 m
↓
↑
174.88 m
↓
N 55.070505°
W 14.952392°		 ← 174.88 m →
30 583 m²		 N 55.070505°
W 14.949646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458469390869141 y=0.315952301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458469390869141 × 217)
    floor (0.458469390869141 × 131072)
    floor (60092.5)     		tx = 60092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315952301025391 × 217)
    floor (0.315952301025391 × 131072)
    floor (41412.5)     		ty = 41412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60092 / 41412 ti = "17/60092/41412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60092/41412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60092 ÷ 217
    60092 ÷ 131072     		x = 0.458465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41412 ÷ 217
    41412 ÷ 131072     		y = 0.315948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.08306884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26096848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315948486328125 × 2 - 1) × π
    0.36810302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15642976643423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26096848} λ = -0.26096848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15642976643423))-π/2
    2×atan(3.17856477543838)-π/2
    2×1.26599270300118-π/2
    2.53198540600237-1.57079632675     		φ = 0.96118908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26096848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.952392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96118908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.072078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60092 KachelY 41412 -0.26096848 0.96118908 -14.952392 55.072078
    Oben rechts KachelX + 1 60093 KachelY 41412 -0.26092054 0.96118908 -14.949646 55.072078
    Unten links KachelX 60092 KachelY + 1 41413 -0.26096848 0.96116163 -14.952392 55.070505
    Unten rechts KachelX + 1 60093 KachelY + 1 41413 -0.26092054 0.96116163 -14.949646 55.070505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96118908-0.96116163) × R
    2.74500000000399e-05 × 6371000     		dl = 174.883950000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96118908-0.96116163) × R
    2.74500000000399e-05 × 6371000     		dr = 174.883950000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26096848--0.26092054) × cos(0.96118908) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572545496538835 × 6371000     		do = 174.870131964129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26096848--0.26092054) × cos(0.96116163) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572568001835606 × 6371000     		du = 174.877005661049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96118908)-sin(0.96116163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572545496538835-0.572568001835606)×R²
    abs(-0.26092054--0.26096848)×2.25052967716133e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25052967716133e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25052967716133e-05×40589641000000     		ar = 30582.5804665703m²